等速圆周运动与简谐运动

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1、等速圓周運動與簡諧運動(SHMSimpleHarmonicMotion)T為該運動的週期(period)。上述運動的週期為（繞一圈或角位移為2所需時間）T=2/。習慣上，我們常以頻率(frequency)f來描述此週期性運動，f=1/T=/2，而稱之為該運動的角頻率(angularfrequency)。頻率的單位為s-1或hertz(Hz)。正弦（或餘弦）函數中的變數值(t+)被稱為該運動的相位(phase)，所以對圓周運動而言，速度與位移的相位差為90o或/2，而加速度與位移的相位

2、差為180o或。以動力學的觀點來看，圓周運動投射於一維座標上所遵守的運動定律為所以簡諧運動的形成主要為物體受到一恢復力(restoringforce)的影響，亦即受力的方向與偏離平衡點（受力為零之處）的位移方向相反，且此力的大小線性正比於其偏移量的大小。由此敘述我們知道，符合此狀況的最直接例子為彈簧系統。考慮彈性係數為k的彈簧系統中，一質量為m的物體連結於此彈簧上，當彈簧壓縮量為x時，物體所受的力為這顯示此物體的位移滿足微分方程滿足此微分方程之解的一般形式為例題一：一質量為1300kg車子的避震器彈

3、性係數為20,000N/m。當它乘載兩個人總質量為160kg時，路經一坑洞使得車子上下震動，問其振動頻率為何？此為前面所敘述的簡諧運動，而其週期與頻率為A.10HzB.7HzC.5HzD.3HzE.1Hz分子振動凡德瓦作用力模型考慮x為偏離平衡點之位移，亦即x=r-Ro。則其受力大小可表示為利用數學展開式關係將力的形式展開後，我們可得一近似虎克定律的關係例題:給定氬分子間凡德瓦作用力大小為Uo=1.68*10-21J與Ro=3.82*10-10m。請估計該分子的振動頻率。5.6×105B.5.6×10

4、7C.5.6×109D.5.6×1011E.5.6×1013Hz單擺(SimplePendulum)與物理擺(PhysicalPendulum)當角度不大時，sin。再將弧長s=L代入，單擺的運動方程可重新寫為由牛頓定律我們有此運動方程與由彈簧系統所得到的微分方程一樣，所以符合此運動方程的解為角位移對時間為一簡諧運動，擺動週期與頻率為思考問題：若將繩子改為彈簧，彈簧掛上物體後的平衡長度為L，問此擺的週期會大於、小於或等於繩子擺？思考問題:由化石資料顯示，暴龍的腿骨長約為3.1公尺，而其足跡間距

5、約為4.0公尺。請估計暴龍行走之速度。假若擺的質量並非集中於擺長的另一端，而是須要考慮質量於空間的分佈（如圖所示），則我們稱此為物理擺(physicalpendulum)。因重力對此系統所施的力矩而產生的運動為滿足：考慮當擺動的角度不是很大時：此擺動對角度值而言為一簡諧運動。其週期為AuniformrodofmassMandlengthLispivotedaboutoneendandoscillatesinaverticalplane.Findtheperiodoftheoscillationifth

6、eamplitudeofthemotionissmall.思考問題:機械式傳統鐘錶通常皆依賴振動系統來計時，為何振動系統可為時間之標準。扭擺(TorsionalPendulum)繩索因此角度扭轉而施予此物體一力矩，其大小與扭轉角度成正比，方向為減小此扭轉角度的方向。由此我們可以寫出此系統的運動方程所以，扭擺亦為一簡諧運動。其頻率為Theotolithorgansaretheprimarymeansbywhichwesenselinearaccelerationoftheheadandtheorient

7、ationoftheheadwithrespecttoEarth'sgravity.Eachoftheseotolithorganscontainsasmallsensoryareaknownasamacula.Eachmaculacontainsseveralthousandvestibularhaircells.Theciliaareembeddedinagelatinousmatrixcalledtheotolithicmembrane.Thismembranecontainssmallpile

8、sofcalciumcarbonatecrystals(CaCO3),calledotoliths,awordwhichliterallymeans"earstones."阻尼諧振子(DampedOscillators)考慮一系統的阻力(retardingforce)為R=-bv，恢復力(restoringforce)為-kx，則由牛頓運動定律可得此運動方程與所熟悉的簡諧運動微分方程差異於多出一次微分項。在此微分方程中，對函數x而言為齊次方程，故在解此類