地图投影与高斯投影

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1、第八章地图投影与高斯投影[本章提要]8.1高斯投影概述8.2高斯投影坐标正反算公式8.3平面子午线收敛角8.4方向改化公式8.5距离改化公式8.6坐标换带计算[习题]本章提要本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。[知识点及学习要求]1．高斯投影的基本概念；2．正形投影的一般条件；3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算4．椭球面上观测成果（水平方向、距离）归化到高斯平面上的计算；5．高斯投

2、影的邻带换算；[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用。返回本章首页8.1高斯投影概述我们已经知道，椭球面上的大地坐标系是大地测量的基本坐标系，它对于研究地球形状大小、大地问题计算、编制地图等都很有用。可是另一方面，在椭球面上进行测量计算仍然相当复杂，人们总是期望将椭球面上的测量元素归算到平面上，以便在平面上进行计算。同时，地图也是平面的，为了控制地形测图所建立的控制点，也必须具有平面坐标。因此，为了简化测量计算和控制地形测图，就必须利用投影的方法，来解决椭球面至平面的转化问题。这种归算要运用地图投影(简

3、称投影)理论才能实现。地图投影的方法很多，我国现在采用的是高斯——克吕格投影(简称高斯投影)。1.地球投影与变形所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。椭球面是一个凸起的曲面，如果将这个曲面上的观测元素，例如一段距离、一个角度、一个图形投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形有差异，我们称其为投影变形。讲一个简单例子：把一个平面卷成圆柱状、横套在一个空心的玻璃圆球的外面，使它与圆球上的一个大圆L0相切，设想在圆球中心O处有一个光源，它发出的光线透过球面点A点后在圆筒面上投影成a点，球面上的三角形A

4、BC和BCD，同样也被投影成相应的三角形abc和bcd,然后把圆柱面沿一条与中轴线HH’相平行的直线剪开展平，就可以得到投影到圆柱面的这两个三角形的平面图。我们把被投影的球面称作原面，原面上的元素投影后所在的圆柱面称作投影面。在投影中除相切的那个大圆没有变形外，投影面上的其他边长都大于原面的边长(例如ab>AB，……cd>CD)，这种变形称作长度变形。投影面上的角度也不等于原面上对应的角度(例如∠a≠∠A，……∠d≠∠D)，称其为角度变形。投影面上的三角形面积，不等于原面上对应的三角形面积(例如,△abc≠△ABC)，称其为面积变形。地图投影必然产生变形。投影变形一般分为角度变形、长度变

5、形和面积变形三种。在地图投影时，我们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。因此，地图投影中产生了所谓的等角投影（投影前后角度相等，但长度和面积有变形）、等距投影（投影前后长度相等，但角度和面积有变形）、等积投影（投影前后面积相等，但角度和长度有变形）等。在地图投影中原面是椭球面，投影面是平面。但有一些特殊要求比上述情况复杂，两者之间不能用直观的几何关系表示，要用一定的数学关系表示。例如在原面上的一点A(图)，它的大地坐标是B、L，用横圆柱投影，假定在投影面上A点的投影点是a，其平面坐标为x、y。则两者的数学关系一般可表示为：式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而x，y是该

6、点投影后的平面(投影面)直角坐标。式中表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F的具体形式体现的。2大地测量对地图投影的要求1.应采用等角投影（又称正形投影）。对于大地测量来说，等角投影尤为重要，因为三角测量大量工作是测量水平方向(或角度)。角度如能不变形，就可①保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了大量的投影工作；②所测制的地图在有限的范围内只有等角投影才能使地形图与实地图形保持相似，在测图时可以直接缩绘,用图时可以直

7、接量取。如图多边形，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。图中2.要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并能进行简单计算。3.要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各带联成整体。保证每个带进行单独投影，并组成本身的直角坐标系统，然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起，从而组成统一的系