来安县清流西路道路工程施工

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1、同济大学数学系2009-3-22工科研究生数学--矩阵论第4章内积空间吴群同济大学数学系wuqun@tongji.edu.cn4.1实内积空间定义.设V是一个实线性空间，R为实数域，2若a,bV,存在唯一的rR与之对应，记作(a,b)=r,并且满足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a=0则称(a,b)为a与b的内积，V为实内积空间。实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。对称性线性性非负性3定义内积例.线性空间称为内积空间的标准内积。4定

2、义内积A为n阶实正定矩阵，例.线性空间5定义内积例.线性空间C[a,b]，f,g∈C[a,b]6由定义知(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)向量长度,Cauchy-Schwarz不等式定义.设V为实内积空间，称为向量a的长度，记作

3、

4、a

5、

6、。定理.设V是实内积空间，a,bV,kR，则等号成立当且仅当a,b线性相关；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齐次性8例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明向量的夹角由Cauchy-Schwaz不等式可知向量的正交定义.设V是实内积空间，a,bV,若(

7、a,b)=0,则称a与b正交，记作ab。a与b正交这就是实内积空间中的勾股定理。11向量a与b在该基下的坐标为12度量矩阵矩阵A称为基的度量矩阵。即A为实对称矩阵。即A为实正定矩阵。定理：设内积空间V的两个基是：它们的度量矩阵分别为A与B，则A与B是合同的，即存在可逆矩阵P，使得其中可逆矩阵P是由前组基到后组基的过渡矩阵。4.2标准正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。16且其中每个向量的长度都是1，注意：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即G

8、ram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程：设是内积空间V中线性无关的向量组，，使得则V中存在正交向量组Gram-Schmidt正交化过程图解19令是正交向量组，并且则记或注意到K是可逆矩阵，因此是正交向量组下面用归纳法说明由归纳法假设可知是正交向量组。即矩阵A的QR分解推论1：n维实内积空间V必存在标准正交基。推论2：n维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成V的一个正交基。推论3:设A为可逆阵，则存在正交阵Q和可逆上三角阵R使得A=QR，称为矩阵A的QR分解。24设A为n阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，25

9、26例:求矩阵A的QR分解，4.3正交子空间定义:设W,U是实内积空间V的子空间，(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作aW;(2)若aW,bU,都有(a,b)=0,则称W与U正交，记作WU;(3)若WU，并且W+U=V,则称U为W的正交补。注意：若WU，则W与U的和必是直和。正交补的存在唯一性定理:设W是实内积空间V的子空间，则W的正交补存在且唯一，记该正交补为，并且向量的正投影定义:设W是实内积空间V的子空间，则称向量b为向量a在W上的正投影，称向量长度

10、

11、g

12、

13、为向量a到W的距离。WdbOag垂线最短定理定

14、理:设W是实内积空间V的子空间，aV,b为a在W上的正投影，则dW,有并且等号成立当且仅当b=d。Wdba4.4正交变换定义:设T是实内积空间V的线性变换，若aV有则称T为V的正交变换。正交变换的特征刻画定理:设T是实内积空间V的线性变换，a,bV，则下列命题等价，33推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。Householder变换构造的正交变换讨论正交变换H的几何意义。故H(a)是a关于子空间的反射，dagbwO-g矩阵H称为Householder矩阵，变换H称为Householder变换，变换H也称

15、初等反射变换。36求一个初等反射变换H，使H(a)=b。只需求一个w使得b是a关于子空间的反射，于是w与a-b平行，故可取4.5复内积空间定义.设V是一个复线性空间，C为复数域，37若a,bV,存在唯一的cC与之对应，记作(a,b)=c,并且满足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a=0则称(a,b)为a与b的内积，V为复内积空间。复内积空间也称酉空间。对称性线性性非负性(1)(a,b)=(b,a)38定义内积例.线性空间称为复内积空间的标准内积。39在复内积空间中还有(

16、5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)(8)