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时间:2018-12-05
《二次函数知识点经典例题详解最终》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a¹0)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a¹0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式:y=ax2的性质:a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2、a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,0)y轴x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值0.a<0向下(0,0)y轴x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值0.2.y=ax2+c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,c)y轴x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值c.a<0向下(0,c)y轴x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;x
3、=0时,y有最大值c.3.y=a(x-h)2的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,0)X=hx>h时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;x0向上(h,k)X=hx>h时,y随x的增大而增大;x4、k)X=hx>h时,y随x的增大而减小;x5、+c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得资料到前者,即y=ax+b2a2+4ac-b24a,其中h=-b2a,k=4ac-b24a五、二次函数y=ax2+bx+c的性质当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时,y随x的增大而减小;当x>-b2a时,y随x的增大而增大;当x=-b2a时,y有最小值4ac-b24a.2.当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时,y随x的大而增大y;当6、随x>-b2a时,y随x的增大而减小;当x=-b2a时,y有最大值4ac-b24a.资料资料六、二次函数解析式的表示方法1.一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a¹0);2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a¹0);3.两根式(交点式):y=a(x-x1)(x-x2)(a¹0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac³0时,抛物线的解析式才可以用交点式7、表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.(同左异右b为0对称轴为y轴)3.常数项c⑴当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;8、⑶当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.八、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:①当D=b2-4ac>0时,图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1¹
4、k)X=hx>h时,y随x的增大而减小;x5、+c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得资料到前者,即y=ax+b2a2+4ac-b24a,其中h=-b2a,k=4ac-b24a五、二次函数y=ax2+bx+c的性质当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时,y随x的增大而减小;当x>-b2a时,y随x的增大而增大;当x=-b2a时,y有最小值4ac-b24a.2.当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时,y随x的大而增大y;当6、随x>-b2a时,y随x的增大而减小;当x=-b2a时,y有最大值4ac-b24a.资料资料六、二次函数解析式的表示方法1.一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a¹0);2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a¹0);3.两根式(交点式):y=a(x-x1)(x-x2)(a¹0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac³0时,抛物线的解析式才可以用交点式7、表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.(同左异右b为0对称轴为y轴)3.常数项c⑴当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;8、⑶当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.八、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:①当D=b2-4ac>0时,图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1¹
5、+c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得资料到前者,即y=ax+b2a2+4ac-b24a,其中h=-b2a,k=4ac-b24a五、二次函数y=ax2+bx+c的性质当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时,y随x的增大而减小;当x>-b2a时,y随x的增大而增大;当x=-b2a时,y有最小值4ac-b24a.2.当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时,y随x的大而增大y;当
6、随x>-b2a时,y随x的增大而减小;当x=-b2a时,y有最大值4ac-b24a.资料资料六、二次函数解析式的表示方法1.一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a¹0);2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a¹0);3.两根式(交点式):y=a(x-x1)(x-x2)(a¹0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac³0时,抛物线的解析式才可以用交点式
7、表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.(同左异右b为0对称轴为y轴)3.常数项c⑴当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
8、⑶当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.八、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:①当D=b2-4ac>0时,图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1¹
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