二次函数知识点与经典例题详解最终

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1、二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a¹0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a¹0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0，0)y

2、轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下(0，0)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．2.y=ax2+c的性质：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．3.y=a(x-h)2的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h，

3、0)X=hx>h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x0向上(h，k)X=hx>h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x

4、)2+k，确定其顶点坐标(h，k)；⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y=ax+b2a2+4ac-b24a，其中h=-b2a，k=4ac-b24a五、二次函数y=ax2+bx+c的性质当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b2a,顶点坐标为

5、-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时，y随x的增大而减小；当x>-b2a时，y随x的增大而增大；当x=-b2a时，y有最小值4ac-b24a.2.当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a.当x<-b2a时，y随x的大而增大y;当随x>-b2a时,y随x的增大而减小;当x=-b2a时,y有最大值4ac-b24a.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a¹0）；2.顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a¹0）；3.两根式（交点式）：y=a(x-x1)(x-x2

6、)（a¹0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac³0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3

7、.常数项c⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当D=b2-4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1¹x2)

8、，其中的x