[计算机软件及应用]第5章算法分析回溯法

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1、算法设计与分析第5章回溯法5.1回溯法的算法框架5.2装载问题5.3批处理作业调度5.4符号三角形问题5.5n后问题5.60-1背包问题5.7最大团问题5.8图的m着色问题5.9旅行售货员问题5.10圆排列问题5.11电路板排列问题5.12连续邮资问题1学习要点理解回溯法的深度优先搜索策略。掌握用回溯法解题的算法框架（1）递归回溯（2）迭代回溯（3）子集树算法框架（4）排列树算法框架25.1回溯法的算法框架有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法有“通用的解题法”之称。3回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的

2、，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。41.问题的解空间用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。解空间往往用向量集表示。问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的

3、一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。5例：对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。当n=3时，其解空间是：{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}6定义了问题的解空间后，还应将解空间很好地组织起来，以便能用回溯法方便地搜索整个解空间。通常将解空间组织成树或图的形式。7例：对于n=3的

4、0-1背包问题，可用一棵完全二叉树表示其解空间。82.回溯法的基本思想扩展结点：一个正在产生儿子的结点称为扩展结点。活结点：一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点。死结点：一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。9深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点。回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先方式搜索整个解空间。10例：0-1背包问

5、题n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=3011例：旅行售货员问题某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的费用（路程或旅费）。他要选择一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线，使总的费用最小。12设G=(V,E)是一个带权图。图中各边的费用（权）为正数。图中的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路，周游费用是这条边上所有边的费用之和。旅行售货员问题要在图G中找出费用最小的周游路线。13旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图G的一条周游路线。1415回溯法的基本思想⑴针对所给问题，定义问题

6、的解空间；⑵确定易于搜索的解空间结构；⑶以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。16用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。173.递归回溯voidBacktrack(intt)//t为递归深度{if(t>n)Output

7、(x);//记录或输出可靠解x，x为数组elsefor(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){//f(n,t)表示在当前扩展结点处未搜索过的子树的起始编号//g(n,t)为终止编号x[t]=h(i);//h(i)表示当前扩展结点处x[t]的第i个可选值if(Constraint(t)&&Bound(t))//剪枝Backtrack(t+1);}}回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。184.迭代回溯voidIterativeBack