[理学]matlab的方程组解法

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1、MATLAB的方程(组)解法第六讲王文健wwj527@163.com《MATLAB数据处理与应用》2011-2012学年选修课TribologyResearchInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY2主要内容线性方程(组)的解法非线性方程(组)解法MATLAB统计分析TribologyResearchInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY3简介线性方程(组)直接法—在没有舍入的情况下，通过有限步四则运算求得方程组的准确解迭代法—先给出一个解的初始值，然后按一定的法则逐步求出解的各个

2、更准确的近似值的方法非线性方程(组)迭代法—不动点迭代法、Newton迭代法、BroydenBroyden迭代法TribologyResearchInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY4线性方程(组)的解法线性方程的解法对于线性方程可以直接调用roots函数来求解例如：求解x3+5x2-8x+6=0P=[15-86];roots(P)求解2x9+43x7+x6-8x5+14x4-5x3+x2-10x+12=0a=[20431-814-51-1012];roots(a)TribologyResearchInstitu

3、teSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY5线性方程(组)的解法线性方程组的解法直接法—利用符号运算“/”或“”来求解直接法一般基于高斯消去法、主元素消去法、平方根法和追赶法等，在MATLAB中这些算法已被编成现成的库函数或运算符，可以直接调用进行求解TribologyResearchInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY6线性方程(组)的解法线性方程组的解法建立系数矩阵和常数矩阵A=[21-51;1-30-6;02-12;14-76]B=[89-50]'X=ABTribologyResearc

4、hInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY7线性方程(组)的解法线性方程组的解法利用矩阵的LU、QR和Cholesky分解法求解—这三种方法对求解大型方程组非常有用优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存LU分解法—Gauss消去分解，可以把任意矩阵分解为下三角矩阵的基本变换形式和上三角矩阵的乘积A=LUL为下三角矩阵，U为上三角矩阵A*X=b变成L*U*X=b—X=U(Lb)TribologyResearchInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY8线性方程(组)的解法LU分

5、解法A=[21-51;1-30-6;02-12;14-76]B=[89-50]'[L,U]=lu(A)X=U(LB)TribologyResearchInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY9线性方程(组)的解法Cholesky分解法如果A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解为上三角矩阵和其转置的乘积，即A=R'*R，其中R上三角矩阵A*X=b变成R'*R*X=bX=R(R'b)举例：A=[1648;45-4;8-422]B=[28526]'R=chol(A)X=R(R'B)正定矩阵设M是

6、n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)都有X′MX>0，就称M正定(PositiveDefinite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。TribologyRese

7、archInstituteSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITY10在A变换的作用下，向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A的一个特征向量，λ是对应的特征值（本征值）,是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。　　又称本征值。设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所奇异矩阵特征值得到的向量和X仅差一个常数因子，即AX=kX，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，

8、在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。设M是n