数值逼近试题答案

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1、姓名：学号：院系：级班大连理工大学课程名称：数值逼近试卷：c授课院(系)：数学系考试日期：2005年2月28日试卷共页装订线一二三四五六七八九总分标准分181810810108810100得分一、填空（18分）（1）[a,b]上具有n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为（2n+1）。（2）设连续函数f（x）C[0,1],则它的n次Bernstein多项式为（）。（3）设f(x)C[a,b],m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为().（4）n次直交多项式的单根个数为（n）。（5）设则的一组基底为（），其中表示以8为节点的

2、n次样条函数的全体。（1）N次Bezier曲线的表示式是(为控制点）。一、判断题（18分）（正确的√，错误的×）（1）具有n个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。（√）。（2）[a，b]上的两个直交多项式和没有公共的根（√）。（3）中的一个多项式p(x)成为C[a,b]中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在[a,b]上的偏离点的个数不少于n+2（×）。（4）Simpson求积公式的代数精度是3（√）。（5）设连续函数f（x）C[a,b]，是其n次最佳平方逼近多项式，则（√）。（6）n次Chebysheff(切比雪夫)多项式在[-1，1]上恰有n个极大

3、值点。（×）。二、（10分）叙述并证明Wereistrass第一定理。Weierstrass第一定理：设，那么对于任意给定的，都存在这样的多项式，使得证明：构造的n次Bernstein多项式为了证明Wereistrass第一定理，需要用到一个恒等式：8=由于可知左端==右端令一致连续，所以有，，，有，所以8（令）由，得到，所以上式随着n的无限增大，上式趋于0，这就证明了多项式序列对于的一致收敛性。一、（8分）求在[0，1]上的一次平方逼近多项式。解：设在[0，1]上的一次平方逼近多项式为所以8得到解得所以一次平方逼近多项式为一、（10分）确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使求积公

4、式的代数精度最高。（求积系数只需给出公式即可）解：要使上面的求积公式的代数精度最高，需要确定高斯求积节点，使得代数精度达到最高，也就是求二次直角多项式的根。设在[-1,1]上的二次直交多项式为则有所以有所以有所以二次直交多项式为，零点为，当时，有当时，有8所以即求积公式为当时有当时有当时有所以求积公式的代数精度为3达到最高代数精度。一、（10分）求f（x）=在[0，1]上的一次最佳逼近多项式。解：在[0,1]上连续，且>0设在[0,1]上的一次最佳逼近多项式为则在[0,1]上至少有3个正负交错的偏离点，，是的极值点，即所以若>0,即是内点，那么也是极值点，即因为，所以是严格单调递增的

5、，与8矛盾，所以＝0同理可知，由即所以，，所以f（x）=在[0，1]上的一次最佳逼近多项式为一、（8分）设，试求以-1，0，1，-2为插值节点的三次插值多项式。解：设，试求以-1，0，1，-2为插值节点的三次插值多项式为+8一、（8分）设是且比雪夫多项式的零点，则对任意一个次数低于n的多项式有恒等式成立证明：令是且比雪夫多项式的零点所以因为所以因为是次数不高于n的多项式，与在n个不同点处的值相等，所以有即8