【数学解题思想方法】观察与发现～

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1、〔学解题思想方法】观察与发现〜观察是进行任何一种科学活动所必须的首要步骤，不少伟大的科学家（包括数学家）都把“观察，观察，再观作为自己的座右铭.观察是人们的一种行为动作.通过观察，把外部事物的各种信息反映到人的大脑里.但这绝不是一种机械的条件反射，伴随着观察同时会发生一系列的心理活动，如注意、感知、记忆、想象等，而且其中一定还存在着积极的思维活动.观察本身不是一种独立解数学题的思维方法，但它是产生数学思想方法的基础.高质量的观察能迅速合理地产生好的数学思想方法.因此，观作为解题的第一步显得特别重要，不能把它与数学解题的思维分割开.良好的心理素质和合理的观察，是一种数学能力和品

2、质.为形成良好的思维品质，应该从观察做起.人们常说：“眼睛是心灵的窗户”，而观察的好坏则决定这扇“窗户”能否充分地敞开.当然观察不是消极的注视，而是解题者有目的、有计划地对数学问题中的各种信息和特点的直觉感受，从中发现并获取必要的信息.当观察的信息比较熟悉，与自己掌握的解题模式很接近，与自己的认知结构相合拍，那么解题者立即就进入试探过程，大部分这类问题便可很快获解.观察与试探可从以下几方面入手.一、观察问题的数字特征〔学解题思想方法】观察与发现〜观察是进行任何一种科学活动所必须的首要步骤，不少伟大的科学家（包括数学家）都把“观察，观察，再观作为自己的座右铭.观察是人们的一种行

3、为动作.通过观察，把外部事物的各种信息反映到人的大脑里.但这绝不是一种机械的条件反射，伴随着观察同时会发生一系列的心理活动，如注意、感知、记忆、想象等，而且其中一定还存在着积极的思维活动.观察本身不是一种独立解数学题的思维方法，但它是产生数学思想方法的基础.高质量的观察能迅速合理地产生好的数学思想方法.因此，观作为解题的第一步显得特别重要，不能把它与数学解题的思维分割开.良好的心理素质和合理的观察，是一种数学能力和品质.为形成良好的思维品质，应该从观察做起.人们常说：“眼睛是心灵的窗户”，而观察的好坏则决定这扇“窗户”能否充分地敞开.当然观察不是消极的注视，而是解题者有目的、

4、有计划地对数学问题中的各种信息和特点的直觉感受，从中发现并获取必要的信息.当观察的信息比较熟悉，与自己掌握的解题模式很接近，与自己的认知结构相合拍，那么解题者立即就进入试探过程，大部分这类问题便可很快获解.观察与试探可从以下几方面入手.一、观察问题的数字特征

5、zZ〔学离不开数字，我们学过的数字有很多的特征是可利用的，如整数、无理数、质!zZ勾股数、数的组成、的整除性、数与方程及数与函数的关系等等.只要仔细观发现数字间的内在联系，往往能找到解决问题的突破例3已知三角形的三边分别为108、144、180.求此三角形的最大角.思路分析本题用余弦定理计算比较麻烦.若认真观数字间的

6、特征：108:144:180=3:4:5，由勾股定理的逆定理即可知此三角形为直角三角形，所以最大角是90°.项数，于是可进行如下试探：二、注意观察式的特征问题所给的各类式子中出现的一些关系与形式，常常可给问题的求解指出探索的思路.思路分析一般观察可断定用判别式法，但若再仔细观察则可发现分子能写成4(x+1)2+9,分母能写成6(x+l)，这类关系能否利用，不妨作一试探：A=(2+l)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1).求A的末位数字.思路分析此题若企图把等式右边各个因数相乘是极不现实的.观察所给的式子特征，容易想到用(2-1)乘等式

7、两边进行试探.•(2-l)A=(2-l)(2+1)(22+1)…(264+1)=2128-1二(24)32-1二1632-1.因1632的末位数字是6，所以A的末位数字是5.思路分析如果仔细对己知等式进行观察，注意到al、a2、a3、为非零实数，就可把等式看成为以a4为未知:的方程，且此方程有实根，于是此题还可将已知等式展开，应用配方知识解答.例8已知x、y£R.且x2+y2=4，求x+y的最大值和最小值.思路分析观察己知式知它表示一个以原点为圆心，以2为半径的圆（如图2-1），于是问题转化为当点（x，y）在圆上运动时，*+尸13在7轴上的截距b的最值问题.再借助于图形进一步

8、观察，可得结论：当且仅当直线x+y=b运动到11位置与圆相切时，取得最大值；运动到12、注意观察图形特征注意观察图形特征，可以发现图形中隐含的重要的关系，同时也有利于运用数形结合方法，在解题中获得优解例9如图2-2，A是半径为1的00外一点，0A=2，AB是00的切线，B是切点，弦BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于（）.思路分析观察图形特征，连结OC、0B，发现AB0C与△ABC有相同的底和高，其面积相等.于是S阴影=S弓形BmC+SAABC-S弓形BmC+SAB0C=S扇形BOC.再观察图形知