地球坐标系和地球椭球

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1、第二章地球坐标系和地球椭球§2.1概述大地测量采用的坐标系：天球坐标系、地球坐标系地球坐标系：固定在地球上与地球一起自转和公转的坐标系地球坐标系分类：参心坐标系、地心坐标系定义坐标系的要素：原点位置、尺度与坐标轴指向；还包括一些天文、物理、地球等参数，若采用大地坐标表述形式还需要椭球元素。2§2.2地球椭球面的数学计算和有关计算2.2.1地球椭球的几何、物理元素椭球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：XYZO32.2.1地球椭球的几何、物理元素（续1）几个关系式：1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：42.2.1地球椭球的几何、

2、物理元素（续2）1980年大地坐标系采用第16届IAG—IUGG椭球，其椭球元素为：52.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质1、经线和纬线的曲线方程在XOZ坐标面上的起始经线方程：OXYZM1M0MLLrARSM0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：经度为L的经线方程：62.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续1）OXYZM1M0MLLrARS纬圈方程：72.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续2）2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的Frenet标架POQMP´RTNA如图为过M点的子午面。子午线的主法线MP´

3、位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP´。所以，MP´垂直于椭球面在M点的切平面，因此它是椭球面的法线。Frenet标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位向量〔取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向〕构成的三维直角坐标系。82.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续3）3、旋转椭球面及经纬线的参数方程1).以大地经度L及归化纬度u为参数的方程uaXZOM´M在XOZ子午面内，有在三维空间坐标系中：9(2).以大地经纬度L、B为参数的方程XZK0B90°+BOT

4、M0切线M0T的斜率的导数式：由椭圆方程求导得：代入第一式得：12.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4）102.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续5）将代入椭圆方程，化简后得：1引入辅助符号：则有：112.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续6）以大地经纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维坐标为〔椭球面参数方程式〕：12以大地纬度为参数的经度为LC的子午线参数方程为:13在一点〔BC,LC〕处的子午线切向量14子午线切线单位向量15以大地经度为参数的大地纬度为的BC纬线的参数方程为16在一点〔BC,LC〕处的平行圈切

5、向量17平行圈切线单位向量18椭球面单位法向量为其矢量积：192.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续7）(3).以大地经度L及球心纬度为参数的方程XZOM0球心纬度，向径，则对于XOZ平面上的椭圆有：在椭圆上，向径由球心纬度唯一确定，将上式代入椭圆方程，得：202.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续8）对于XOZ平面上的椭圆有：以经度、球心纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维坐标为〔参数方程式〕为：212.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续9）不难得出，u,B,的关系为：因此有：由球心纬度公式，得：22

6、2.2.2旋转椭球面的参数表示及数学性质（续10）4、旋转椭球面的几何性质a).对称性b).有界性c).正则性：曲面上每点都对应于唯一确定的非零法向量。d).不可展性232.2.3法截线曲率及曲率半径1、空间曲线的曲率几曲率半径若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。则曲线的曲率为：若以t参数，则曲线的曲率可表示为：242、椭球面法截线的曲率(1).子午线曲率半径不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化纬度u为子午线方程的参数，则有：2.2.3法截线曲率及曲率半径（续1）252.2.3法截线曲率及曲率半径（续2）则有

7、：同理，若以大地纬度为参数，得：子午曲率半径M，就是曲率是倒数，即：262.2.3法截线曲率及曲率半径（续3）(2).卯酉线曲率半径定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯酉线。根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率kn与平行圈曲率kr的关系为：平行圈半径为子午面XOZ平面内的X坐标，即：则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：272.2.3法截线曲率及曲率半径（续4）(3).任意方向法截线的曲率半径根据微分几何中的Euler公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：因此，任意方向的曲率半径为：当A为0，/2，，3

8、/2时，取得极值。282.2.3法截线曲率及曲率半径（续5）(4).平均曲率半径定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。代入上式，得：292.2.3法截线曲率及曲率半径（续6）不难得到：NRM引入辅助量：存在下列关系