地球椭球及投影理论

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1、第四章地球椭球数学投影的基本理论14.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):长半轴ａ短半轴ｂ椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率通常用a,2为简化书写，还常引入以下符号椭球基本参数及其互相关系34.2椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1各种坐标系的建立1、大地坐标系大地经度B大地纬度L大地高H42、空间直角坐标系坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X轴指

2、向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。常用坐标系及其关关系53、子午面直角坐标系设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L,x,y表示。常用坐标系及其关系64、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系;以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相交Ｐ１点，则O

3、P１与x轴夹角称为P点的归化纬度u。常用坐标系及其关系7常用坐标系及其关系5、大地极坐标系M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M为极点；MN为极轴；P点极坐标为（S,A)8常用坐标系及其关系4.2.2坐标系之间的相互关系子午平面坐标系同大地坐标系的关系9常用坐标系及其关系令:pn=N10常用坐标系及其关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系11常用坐标系及其关系空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上的点：不在椭球面上的点：12常用坐标系及其关系由空间直

4、角坐标计算相应大地坐标13B、u、φ之间的关系B和u之间的关系常用坐标系及其关系14常用坐标系及其关系U、φ之间的关系Ｂ、φ之间的关系大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45°时154.3椭球面上的几种曲率半径过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。子午圈曲率半径16椭球面上几种曲率半径17椭球面上几种曲率半径18卯酉圈曲率半径(N)卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面

5、同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。椭球面上几种曲率半径19椭球面上几种曲率半径20卯酉圈曲率半径的特点:卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。椭球面上几种曲率半径21主曲率半径的计算以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何

6、中统称为主曲率半径。椭球面上几种曲率半径22椭球面上几种曲率半径23椭球面上几种曲率半径2425任意法截弧的曲率半径椭球面上几种曲率半径26任意法截弧的曲率半径的变化规律:ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ；当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以90°为周期且与子午圈和

7、卯酉圈对称的。椭球面上几种曲率半径27平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。椭球面上几种曲率半径28M，N，R的关系椭球面上几种曲率半径29对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几种曲率半径304.4椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式31椭球面上的弧长计算32椭球面上几种曲率半径33如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10002137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40008549.995m。即一象限子午线弧长约为10000k

8、m，地球周长约为40000km。为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径Mｍ椭球面上的弧长计算34由子午弧长求大地纬度迭代解法:平行圈弧长公式椭球面上的弧长计算35椭球面上的弧长计算子午线弧长和平行圈弧长变化的比较364