围绕核心概念发展知识——章建跃20150416

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1、围绕核心概念发展知识章建跃20150416围绕核心概念，提出问题，建立知识的联系，发现新的知识，加深理解知识核心概念具有基础性、本质性，其自我生长能力强，迁移能力强，但只有孤立的核心概念，而不能以核心概念为中心，把相关概念有机地串联起来，形成命题系统，核心概念的教育价值将大打折扣。“运算”是代数的核心概念，“距离”、“角”是几何的核心概念，斜率是解析几何的核心概念……如何利用这些核心概念，在坐标法思想指导下，提升对二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的认识水平，并在此基础上发现新性质、提出新命题？引导学生围绕圆锥曲线的要素、相

2、关要素进行思考：焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长（短）轴的长、焦半径、面积、内接图形（特别是内接三角形）、角（与焦点、中心等相关）等等。用a，b，c，p等表示相关结论。1．重新认识定义椭圆：动点到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹；双曲线：动点到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹；圆：到两定点距离之比等于定值（≠1）的点轨迹是圆；卡西尼卵形线：到两定点距离之积等于定长a2的点的轨迹。抛物线：动点到定点的距离等于到定直线的距离。围绕距离，通过运算——运算中的不变性，得出定义。2．统一定义动点到定点的距离与到定直线

3、的距离之比为常数的点的轨迹。——点在运动过程中，与定点和定直线的距离的伸缩率保持不变。也是运算中的不变性。3．以斜率为核心，通过运算发现性质（1）已知和是平面直角坐标系上的两点，动点分别与此两定点连线的斜率之积是－1，则动点的轨迹方程是；——从直径上的圆周角为直角可以想到，当学生往往“不是做不到，而是想不到”。（2）已知和是平面直角坐标系上的两点，动点分别与此两定点连线的斜率之积是，则动点的轨迹方程是；（3）已知和是平面直角坐标系上的两点，动点分别与此两定点连线的斜率之积是，则动点的轨迹方程是；（4）已知和是平面直角坐标系上的

4、两点，动点分别与此两定点连线的斜率的平方之差为1，则动点的轨迹方程是。——这一条不太好想用斜率和轨迹两个概念重新定义了圆及二次曲线。这种手法可以推广到大学数学。如拓扑学中，用开集定义拓扑空间。同样可以提出这样的问题：用其它类似的概念，如闭集是否可以定义拓扑空间？围绕几何性质向量化发现和提出命题几何的重要性在于它的直观性。几何性质既可用代数形式表达，也可用向量形式表达。用向量的观点研究几何，就在于把几何结构数量化。围绕这一点，可以提出系列问题，构造系列命题。两点A、B决定一条直线，言外之意是直线上的任一点C都可以由这两个点表示出

5、来。这样在直线上可形成两个向量，。就此，我们可以提出问题：这两个向量之间究竟有什么关系？共线向量基本定理呼之欲出。以此为基础，再引入一点，不共线的三点A，B，C唯一确定一个平面，即平面上任意一点D都可以由这三个点表示。于是，我们可提出问题：如何把这个性质用向量的形式表达出来？平面向量基本定理水到渠成。空间向量基本定理的发现过程完全类似。共线向量基本定理指出，直线上任意一点都可以由两个不重合的基本点表示；平面向量基本定理指出，平面上任意一个向量都可以由两个不共线的基本向量表示；空间向量基本定理指出，空间中任意一个向量都可以由三个

6、不共线的基本向量表示。基向量把表面上不同的事实统一起来了。向量形式揭示了代数解析形式不曾揭示过的内涵。“复数”的引入——章建跃20150416目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。问题情景11545年，数学家Cardan在《重要的艺术》（1545）中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40。他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10－x)=40。但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐

7、慌。你知道这是为什么吗？设计意图：真实的历史故事引发兴趣，让学生自己发现根为5±√－15——产生认知冲突。问题2根据你的已有经验，你认为怎么办就可以解决Cardan的问题？提示：在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2=2有解吗？我们又是怎样让它有解的？设计意图：使学生从(x－5)2＝－15出发，自然想到只要“负数开方”行得通，这样的方程就能解了。问题3为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？设计意图：把思路引导到“引进一个新数，使它的平方等于

8、－1”。问题4根据大家的想法，假设我们引进了一个新的“数”i，它服从i2=－1。我们希望对i能与实数一起进行加、减、乘、除等运算，这样，你觉得会产生哪些类型的“新数”？设计意图：让学生自己“创造”出2i，3i，－i，2+3i，2－3i。追问：（1）这些“新数”能用一种统一的形