哈工大能源学院材料力学讲课第9章

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1、第9章能量原理9-1虚功杆件内力的虚功1）虚功虚变形——满足物体变形连续条件和位移约束条件的允许变形。物体发生变形的原因是多种多样的，例如温度、湿度变化等原因都会引起变形。由于没有限定虚变形的原因和原因的具体方式，一般来说虚变形是多种多样的。但在某一个原因下的真实变形却是确定的，真实变形是虚变形中的某一个。虚变形的特点满足变形连续条件满足位移约束条件未必真实发生的变形简支梁如下的三种变形，均是它的允许变形，即虚变形如果该变形是由力F引起的，那么对于力F来说，这个变形就是真实变形。第9章能量原理9-1虚功杆件内力的虚功1）虚功虚变形——满足物体变形连续条件和位移约束条件的允许变形

2、。例如左图中力偶M在右图中由力F所引起的转角上所做的功就是虚功。同理，右图中力F在左图中由力偶M所引起的位移上所做的功也是虚功。图中力F在其所产生的位移上所做的功，为实功。虚位移——虚变形时物体各点的位移。虚功——力在虚位移上做的功。第9章能量原理9-1虚功杆件内力的虚功1）虚功轴力做的虚功图中与轴力无关，是虚变形，是虚位移。内力做的虚功用Wi表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的dx微段。2）杆件内力做的虚功于是，该微段轴力所做的虚功为第9章能量原理9-1虚功杆件内力的虚功1）虚功剪力做的虚功右图中与剪力无关，是虚变形，是虚位移。内力做的虚功用Wi表示。本课对虚功

3、的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的dx微段。2）杆件内力做的虚功于是，该微段剪力所做的虚功为第9章能量原理9-1虚功杆件内力的虚功1）虚功扭矩做的虚功下图中扭转角与扭矩T无关，是虚变形。是虚位移（角位移）。内力做的虚功用Wi表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的dx微段。2）杆件内力做的虚功于是，该微段扭矩T所做的虚功为第9章能量原理9-1虚功杆件内力的虚功1）虚功弯矩做的虚功右图中转角与弯矩无关，是虚变形，是虚位移（角位移）。内力做的虚功用Wi表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的dx微段。2）杆件内力做的虚功于是，该微段弯矩所做的虚功为第9章能量原理

4、9-1虚功杆件内力的虚功1）虚功轴力做的虚功2）杆件内力做的虚功于是，该微段在组合内力下所做的虚功为剪力做的虚功扭矩做的虚功弯矩做的虚功组合内力做的虚功第9章能量原理9-2虚功原理及其在杆件中的应用1）虚功原理物体受外力作用处于平衡状态，平衡外力系在该物体的虚位移上所做的功，等于该平衡力系引起的内力在虚变形上所做的功。简单地说就是外力的虚功等于内力的虚功。用We表示平衡外力系的虚功，表示内力的虚功，虚功原理的基本方程为应用到杆件，若杆件的允许变形是由某个外力（不是上述的原平衡外力系）引起的，那么这个允许变形就只和由这个外力引起的内力有关，则微段的允许变形为2）虚功原理在杆件中的

5、应用第9章能量原理9-2虚功原理及其在杆件中的应用2）虚功原理在杆件中的应用应用到杆件，若杆件的允许变形是由某个外力（不是上述的原平衡外力系）引起的，那么这个允许变形就只和由这个外力引起的内力有关，则微段的允许变形为其中，分别是和这某个外力（不是上述的原平衡外力系）相对应的轴力、剪力、扭矩和弯矩。第9章能量原理9-2虚功原理及其在杆件中的应用2）虚功原理在杆件中的应用其中，k是剪切形状系数，是为考虑横截面上切应力非均匀分布而引入的，它是与横截面形状有关的常数。矩形截面实心圆截面第9章能量原理9-2虚功原理及其在杆件中的应用2）虚功原理在杆件中的应用上述的允许变形与原平衡外力系无

6、关，对于原平衡外力系来说，他们均是虚变形。这样，在弹性小变形条件下，杆件组合内力（原平衡外力系引起的）在这些虚变形上所作的内力虚功可写成其中，是原平衡外力系所引起的内力。第9章能量原理9-2虚功原理及其在杆件中的应用2）虚功原理在杆件中的应用以则原平衡外力系所做的虚功We为分别表示杆件原平衡外力系的体力分布集度矢量和面力分布集度矢量。表示与上述虚变形相对应的虚位移矢量。其中，∑为杆件的表面积，V为杆件的体积。第9章能量原理9-2虚功原理及其在杆件中的应用2）虚功原理在杆件中的应用根据虚功原理，则其中，∑为杆件的表面积，V为杆件的体积。第9章能量原理9-2虚功原理及其在杆件中的应

7、用例悬臂梁AB自由端B受外力偶M作用后与A端约束反力偶平衡。右图的是该梁在作用下B截面的角位移（角变形）对于外力偶M来说是虚位移（虚变形）。以此例验证虚功原理。外力偶M作的外力的虚功解：内力所作的内力的虚功第9章能量原理9-3莫尔定理如果把虚功原理中所说的平衡外力系选择为作用于两点的两个单位集中力(简称单位力)，则这个平衡力系的外力的虚功为注意，式中为该两个单位力作用点A、B沿着单位力方向的相对虚位移，即与单位力没有因果关系。如果把虚功原理中所说的平衡外力系选择为作用于两个截面处的两个单