上海高二数学解析几何经典例题

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1、上海高二数学解析几何经典例题第13页共13页轨迹方程1、已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线的顶点坐标与焦点坐标；（2）设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹的方程；（3）设直线过点，且与双曲线交于、两点，与轴交于点．当，且时，求点的坐标．第13页共13页面积2、在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值．（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点

2、分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．第13页共13页定点3、动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标；(3)设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．第13页共13页定值4、已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直

3、线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．第13页共13页新定义5、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹，设曲线的轨迹方程．（1）求曲线的方程；（2）定义：若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆．判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．第13页共13页轨迹方程1、已知反比例函数的

4、图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线的顶点坐标与焦点坐标；（2）设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹的方程；（3）设直线过点，且与双曲线交于、两点，与轴交于点．当，且时，求点的坐标．解：（1）顶点：、，焦点：、为焦点（2）解一：：，：--------------2分两式相乘，得．将代入上式，得，即．即直线与交点的轨迹的方程为（）．--------------------1分解二：联立直线方程，解得，即，化简，得．所以，直线与交点的轨迹的方程为（）．（3）直线斜率不存在

5、或为0时显然不满足条件；设直线：，，，则将代入，得，，．，，，即，解得，．解二：将代入，得，，，，．又，，即．，．第13页共13页面积2、在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值．（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．（1）设，由题意，，化简得，所以，动点的轨迹的方程为．（2）设，则，．①当，即时，当时，取最小值，解得，，此时，故舍去

6、．②当，即时，当时，取最小值，解得，或（舍）．综上，．（3）解法一：设，，则由，得，（1分），因为点、在椭圆上，所以，，所以，，化简得．①当时，则四边形为矩形，，则，由，得，解得，，．②当时，直线的方向向量为，直线的方程为第13页共13页，原点到直线的距离为所以，△的面积，根据椭圆的对称性，四边形的面积，所以，，所以．所以，四边形的面积为定值．解法二：设，，则，，由，得，因为点、在椭圆上，所以，，所以，，化简得．直线的方程为，点到直线的距离，△的面积，根据椭圆的对称性，四边形的面积，所以，，所以．解法三：设，，则，由

7、，得，因为点、在椭圆上，所以，，所以，，化简得．△的面积，根据椭圆的对称性，四边形的面积，所以，所以，第13页共13页，所以．第13页共13页定点3、动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标；(3)设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(1)根据抛

8、物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线所以曲线C的方程为x2=4y；(2)设点T(x0,y0),x02=4y0(y0≥0)，

9、AT

10、==，a–2>0，则当y0=a–2时，

11、AT

12、取得最小值为2，2=a–1,a2–6a+5=0，a=5或a=1(舍去)，所以y0=a–2=3，x0=±2，所以T坐标为(±2,3)；(3)显然直线OP1、OP2的斜率都必须