三角函数型的应用题(高-)

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1、.三角函数型应用题（高一）1．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.......解：（1），由于，，，.(2)时，,;（3）=设则由于，所以在内单调递减，于是当时时，的最大值米.答：当或时所铺设的管道最短，为米.......2．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC

2、=米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．（1）设∠BOE=，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低DABCOEF总费用．......解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25,∠B=90°，∠BOE=，∴OE=.…………2分在Rt△AOF中，OA=25,∠A=90°，∠AFO=，∴OF=.……………………4分又

3、∠EOF=90°，∴EF==,∴即．　　　　　　　　…………………………………………6分当点F在点D时，这时角最小，求得此时=；当点E在C点时，这时角最大，求得此时=．故此函数的定义域为.……………………………………………………………8分(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可.由（1）得，，设，则，∴……………………………………………12分由，，得，∴，从而，……………………………………………………………15分当，即BE=25时，,所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.…………16分......3.如图，ABCD是块边长为

4、100的正方形地皮，其中AST是一半径为90的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。QCPSDRABT解：设延长交于令-10故当时，S的最小值为,当时S的......4．如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,按下列要求写出函数的关系式：（1）①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．POABQMN解：（1

5、）①因为，，所以，…2分，所以.……………4分②因为，，，所以………………………6分所以，即，…8分（2）选择，……………12分…………………13分所以.………14分......5．如下图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，的内接正方形为一水池，外的地方种草,其余地方种花.若，设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”.（1）试用,表示和；（2）若为定值，当为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值．......（1）在中，，……………3分设正方形的边长为　　则，由，得，故所以……………6分（2），……8分令，因为，所以，则……………10分所以，，

6、所以函数在上递减，……………12分因此当时有最小值，此时……………14分所以当时，“规划合理度”最小，最小值为．……………15分......AB2m2mMNEDFPQCCl6．如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠，试求平板面的长(用表示)；⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?解：（1）DM=，DN=，MF=，EN=，EF=DM+DN-MF-EN=+－－=（）（2）“平板车要想顺利通过

7、直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能通过，即平板车的长度；记，有=，==此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值......7．（本小题满分15分）一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）求棒长L关于的函数关系式：；（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值．解：（1）如图，（2）令，因为，所以，ABC则，当时，随着的增大而增大，所以所以所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4………15分......8．如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120km，∠