正立方体六个面的着色问题.docx

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1、正立方体六个面的着色问题图解Pólya计数法Mr.Thursday不知道各位阅读一篇blog的时候都是什么样子的时间？刚吃饱饭？刚做完剧烈运动？还是深夜还没睡觉的时候？也许各位只有10分钟左右的注意力可以阅读这篇文章，但是数学相关的内容常常需要很多血液在大脑才能了解，在各位读者大脑缺血的状态下，硬是要大家脑充血，实在是有点残酷。不过这篇文章有另外一个尝试，就是使用图解的方式，让大家可以用比较轻松的方式了解还满有难度的Pólya计数法。各位读者不必学过很难的定理，只要会「加法」、「乘法」、以及对三度空间有一些些想象力，就可以了解！愿意试试看吗？让我们往下继续阅

2、读吧！开始之前先把Pólya本尊以及他发明的公式列在下面，今天的目标就是让各位经松了解这个公式，甚至一辈子都不会忘记喔！加法原理和乘法原理不知道各位是否还记得中学时候学到的排列组合。在这部分我们稍微有些直觉上的复习。首先让我们注意到如果今天有一个瓷砖，然后我们有两种颜色，但是瓷砖一次只能上一种颜色，那么有几种着色法呢?我想大家应该都会回答是两种。譬如说下面这张图：问号代表一个还没上色的瓷砖。右手边代表这两种可能的着色方法：红色、「或是」蓝色。接下来让我们推广到两个瓷砖的时候。如果有两种颜色(红色、蓝色)，分别涂在两个瓷砖上面，总共有几种着色呢？让我们可视化这

3、个问题的答案：所以我们可以看到，有四种着色方法。在继续讨论之前，我们想做一件事，就是跨越「符号化」的鸿沟。首先，上面四种着色方法，我们如果用中文来念，分别就是：「红红」、「红蓝」、「蓝红」、「蓝蓝」。如果我们用英文来代表呢？红色是Red，所以用字母R来代表，蓝色是Blue，所以用B来代表，那么刚才四种着色方法，用英文字母来表示，就变成RR、RB、BR、BB了！跨越符号化的鸿沟之后，我们要开始进入这一段的重点：加法原理和乘法原理。我想各位应该都知道加法，譬如说1＋1=2。各位也应该都知道乘法，譬如说3╳9=27。那么加法和乘法，和排列组合有什么关系呢？我想可以

4、用下面这种对应：「或者」(OR)的关系：用加法表示「并且」(AND)的关系：用乘法表示拿上面两个瓷砖着色个数为例，第一个瓷砖可以着上红色「或者」蓝色，第二个瓷砖可以着上红色「或者」蓝色。然后对每一个着色方法来说，是第一块瓷砖是颜色X「并且」第二块瓷砖是颜色Y，算是一种着色方法。所以要用R和B来表示这四种着色方法，我们可以套用数学的加法和乘法写成：(R＋B)╳(R＋B)=RR＋RB＋BR＋BB(第一块瓷砖是红色或是蓝色 而且第二块瓷砖是红色或是蓝色)第一个括号里面的R＋B就是代表着第一块瓷砖可以着上红色(R)「或者」蓝色(B)，第二个括号表示第一块瓷砖可以着上

5、红色(R)「或者」蓝色(B)。中间相乘代表第一块瓷砖是某某颜色「并且」第二块瓷砖是某某颜色的时候，算成一种「着色方法」。接下来要从「符号化」的鸿沟，跨越「数量化」的鸿沟。数学把世界上的东西符号化之后，大部分专注在「量」的信息上面。像上面的例子，我们用符号RR,RB,BR,BB列出用红色和蓝色，来涂两块瓷砖，有哪几种着色方法。如果只专注在「量」的信息，也就是说，我们只想知道有「几种」着色法，而不用全部的着色法全部念出来，那么答案是4种。那么上面的乘法原理和加法原理产生的式子，要怎么套用呢？只要把R和B，分别换成数字1就可以了：(1＋1)╳(1＋1)=2╳2=4

6、就是答案「4种」了！所以我们跨越了「符号化」和「数量化」的鸿沟，并且了解了加法可以代表「或者」，乘法可以代表「并且」的关系。在继续下去之前，我们先从两块瓷砖推广成三块瓷砖的着色个数：如果先用中文念，我们会知道三块瓷砖用红色和蓝色来涂，会有「红红红」(小叮当？)、「红红蓝」、…、「蓝蓝蓝」，用英文念就是RRR,RRB,…,BBB。用加法原理和乘法原理来计算就是：(R＋B)╳(R＋B)╳(R＋B)=RRR＋RRB＋RBR＋RBB＋BRR＋BRB＋BBR＋BBB把R和B代换成数字1，就可以得到着色的「个数」这个「量化」的信息：(1＋1)╳(1＋1)╳(1＋1)=2

7、╳2╳2=8所以总共有8种着色方法，数一下上面那张图，的确是8种着色方法！(第一块瓷砖是红色或是蓝色) 而且(第二块瓷砖是红色或是蓝色)而且(第三块瓷砖是红色或是蓝色)最后附带一提，如果一个数字乘很多次，数学里面为了表达方便，会用「次方」来表示，譬如说10个数字2相乘，全部写出来是2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2，写的手好酸，所以有一个记号，在网页上通常写成2，来代表数字2相乘了10次这件事情。所以2=2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2╳2OK。到目前为止，大家应该头脑都还算清楚。有些可能中学就学过，大家都知道。不过接下来的东西，其实就是用这一段最基本

8、的东西慢慢延伸，慢慢了解，所以到后面，还是会用到这一