有效数字的意义与运用的探讨.doc

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1、有效数字的意义与运用的探讨231500安徽省庐江二中束义福自然科学的研究就是实验、测量并对测量结果进行分析、认识的过程，测量是物理实验的主要手段之一，而有效数字是测量的重要基础内容，虽然在中学物理教学中对有效数字的教学要求不高，但正确理解，掌握有效数字的有关概念、正确运用有效数字却在实际生产生活应用中是十分重要与必要的。一、有效数字(一)有效数字概念的引入，是从实验数据的原始记录开始的。原始数据记录的原则应是：1、尽量准确地反映出被测物理量的大小；2、正确地反映出测量仪器的准确度；3、反映出在给定测量仪器的条件下，测试者已尽到了最大的努力。但是，在任何一个物理量的测量中，无论使用精确度多么高

2、的仪器，所得的结果与真值总是有差别的，只是近似的。例如用尺子测量某一物体长度时，尺子再精确，它总是有最小刻度的，而物体的长度不一定恰好是最小刻度的整数倍，这样不够一个最小刻度的部分就得靠人的主观估计来确定，如某尺子的最小刻度为毫米，有人测长度时其读数为4.54厘米，其中前两位毫米的整数部分是准确的、可靠的，后一位是我们估计出来的，也可能因观察者的位置不同，操作的熟练程度不同，不同的人会估计出不同的结果，或4.53厘米或4.55厘米均有可能，因此这最后一位数字是不可靠的，但带有近似的，有参考价值，但我们估计出来后，仍有意义，在运算中是有效的，因此，人们把这种带有一位不可靠数字（或叫欠准数字）的

3、近似数字叫做有效数字。上述L=4.54厘米，有效数字表明了，在给定测量仪器——毫米尺的条件下，已经用最大的努力和最妥善的方法测量到被测物体的长度L至0.01厘米的数位。(二)直接有效数字和间接有效数字。通过相应的仪器，直接测量得到的，并从测量仪器的精确度以下再估计一位读出的数字，称为直接有效数字。通过若干直接有效数字的运算而得的数字，称为间接有效数字。例如，单摆实验中，通过公式g=4π2L/T2去测量某地的重力加速度g，就是先对摆长L和周期T进行直接测量，才能通过计算，间接测量g的大小。通过有效数字判断测量仪器及其精确度（最小刻度）。有效数字的最后一位，不仅与误差有联系，还与测量的精确度相

4、联系，因此，我们利用测量结果，通过有效数字判断测量仪器及其精确度（最小刻度）。如测得电流为2.51安，其电流表的精度（最小刻度）为0.1安，测得质量为56.745克，其天平的最小感量为0.01克；如测量31.560g，则可判断测量仪器是0.01克的物理天平。对于有效数字来说，小数点右边最末位，是不能随便增、减“O”这个数字的，尽管它们在数学上是等价的。只有直接有效数字才可以直观地反映出测量仪器的精确度，而间接有效数字则无这个功能。例如实验单摆测重力加速度实验中，测量到100个周期100T=248.70秒，是直接有效数字，只有它才能够直观地反映出使用秒表的精度为0.1秒;而100个周期的平均值

5、=248.70÷100=2.4870(秒)，是通过观察到的周期数100和直接有效数字248.70秒的运算而得到的，它是间接有效数字，不具有直观反映测量仪器精确度的功能，因此不能由它判断出测量仪器的精确度为0.001秒。(三)展延物理量的测量宽度，可以增加直接有效数字的位数，降低测量的相对误差；虽然不能降低直接有效数字的绝对误差，却提供了降低间接有效数字绝对误差的可能性。相对误差的降低，表明了测量准确度的提高（尽管二者绝对误差相等）。相对误差的降低和直接有效数字位数的增加相联系的，这样间接有效数字的位数也相应增加，即间接有效数字的相对误差也就降低了。对于一个有确定值的物理量N（例如，N可以为物

6、质的密度、单摆的周期、物体长度等等）来说，由于△X=ηN。所以其绝对误差为△X必然随着相对误差η的下降而减小。值得一提的是，展延物理量提供了降低间接有效数字绝对误差的可能性。这里之所以提及可能性，是因为从物理实验的角度来考虑问题的。测量宽度的展延必定要受到实际条件的种种限制；不适当地、无限地展延物理量的测量宽度在实际上将失去意义，而且这里还存在着各个测量因子的直接有效数字的相互配合问题。(四)两种平均值的区别。测量连续物理量中的相同子元素的平均值和对同一子元素进行多次测试的平均值，应加以区别，前者属于间接有效数字，后者属于直接有效数字。如连续测量100张纸厚度而求得的每张纸的厚度的平均值是间

7、接有效数字；分别测量100张纸的厚度而求得平均值，是直接有效数字；又如，用天平对同一物体的质量测量10次的平均值，用米尺对同一物体的长度测量10次的平均值，都是直接有效数字，因为这里的10可以认为没有直接参与测量，而直接参与测量的只有质量、长度。(五)直接有效数字和间接有效数字都遵循着原来的有效数字的运算法则。(六)确定有效数字位数的几个问题：有效数字的个数称为有效位数，又如2.83厘米、50.8毫米，均为三