动力学有限元计算已排

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1、第13章　动力学问题的有限元法在实际机械结构中，常作用于结构上的载荷是动载荷，即载荷随时间t相关，这时，结构上相应的位移，应力和应变不仅随空间位置变化，还随时间t而变化。结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结构振动的固有频率及相应的振动型（或模态））1从静力学有限元法可知，有限元的基

2、本思想是将弹性体离散成有限个单元，建立整体刚度平衡方程：关于静力问题和动力问题的区别，据达朗贝尔原理，动力学问题只要在外力中计入惯性力后，便可按静力平衡处理。考虑到动力问题中的载荷和位移均为时间的函数，上式可记为：由于动力载荷　可为作用于弹性体上的动载荷　，也可为弹性体的惯性力　，也可为与速度相关的阻尼力　，即：据惯性力定义表示为：如阻尼力正比与速度，则动力学基本方程：13.1　振动基本方程的建立21、单元刚度阵任取一个单元，单元节点位移为　，节点速度和加速度为：　　　　　，则单元节点内任一点的位移[N]为形函数，与时间t无关，为X、Y、Z的函数，它与静力分析中一样；由于[N]与时间无关，

3、则单元应变矩阵，应力矩阵仍与静力分析完全相同：则刚度矩阵同样与静力情况相同：13.2　单元质量、阻尼、刚阵计算32、单元质量阵设单元节点加速度为　，则单元内任一点的加速度：设单元的质量密度为，则单位体积中的惯性力为：负号表示惯性力与加速度相反。显然，整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上的惯性力移置到单元节点上，通常有两种方法：1）虚功原理法——求得一致质量矩阵2）直接分配法——即按重心不变原则分配，求得集中质量矩。4这里[M]为单元的一致质量矩阵。显然，对于不同的单元，因形函数不同，则质量矩阵也是不同的。1）虚功原理法设单元中发生虚位移为则单元惯性力作的虚功为：单元节点上

4、节点惯性力所作的功为：将　　　　和　　　代入可得5平面常应变三角形单元的一致质量阵为：单元质量矩阵6一般而言，一致质量较准确地反映了单元内质量分布的实际情况，集中质量精度不如前者，但不存在耦合，使计算大大简化，是工程中常用的方法。2）直接分配法将单元内分布质量按重心不变原则分配至单元节点上，所产生的质量矩阵是没有耦合项的对角矩阵。如六自由度的平面三角形单元，单元总质量为W/g，则平均分配至三个节点上的质量所形成的质量阵为：73、单元阻尼阵单元阻尼力主要指结构阻尼力，它是由结构内部材料内摩擦引起的阻尼。设结构阻尼系数为，则单位体积产生的阻尼力（即阻尼力密度）为：利用虚功原理同理可得：8一旦单

5、元刚阵、质量矩阵、阻尼矩阵求得，则动力学方程中的整体刚阵、质量阵等可类似静力分析的刚度矩阵组装得到：9计算结构的固有频率和振型是结构动力学分析的主要内容，也是分析结构动力响应和其它动力特性问题的基础。由于一般结构阻尼对结构的固有频率和振型影响极小，所以，求结构的固有频率和振型时，直接用无阻尼的自由振动方程求解。即因任意弹性体的自由振动都可分解为一系列的简谐振动的迭加：即结构上各节点位移为为节点位移振幅向量（即振型），与时间t无关的位移幅值；　为与该振型对应的频率。13.3　固有频率和振型计算101、特征方程将节点位移代入动力方程，化简得广义特征值问题：由于结构自由振动时，各个节点的振幅不可

6、能全为零，则称为结构的特征方程，即求结构的固有频率和振型归结为特征值问题。设计结构的自由度为n，则特征方程为的n次代数方程，其n个根称为特征值，记为它们的平方根称为系统的固有频率，即将这些固有频率从小到大依次排列为最低的频率称为基频，它是所有频率中最重要的一个。11这个过程称之为正规化利用正规化，可得2、特征向量对应每个固有频率　，可有方程由此求得一组节点振幅不全为0的向量称　　　　为特征向量，也称为振型或模态向量。由于上述方程为齐次方程，显然解　　不唯一，也就是说：振型的形状是唯一的，但其振幅不是唯一的；或一个特征值　可对应有多个特征向量，但一个特征向量只对应一个特征值。实际中，常选特征

7、向量　使12则对应所有的特征值问题:3、特征向量的性质正交性：任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩阵或刚度矩阵正交。即设则有若将所有的特征值　　对应的特征向量组装成特征向量矩阵，即13考虑到正规化:可进一步记为：可简记为矩阵形式：141、幂迭代法特点：用于计算最大（主）特征值十分有效。这里[D]称为动力矩阵，也即一个变换矩阵，它可将任一特征向量变换为一常数与其自身的乘积.13.4　特征值问题的解法结构固有频率和振型的计