高中物理竞赛-天体部分习题精选

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1、1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零.证明设球壳单位面积质量为ρ,壳内P点处有一质点m,如图4-17所示,球壳上取一小面元△S,距P为r,过此面元边界与P连接并延长,在球壳上又取下对应面元△S,距P为r,可得△S与△S对质点m的总万有引力F为OPθOPF=F-F.图4-17F=G·-G·=Gρm(-).从图中可得-.因为△S和△S很小,所以△S=△S,△S=△S,即=.这样可得F=0.所以F==0.2.两个质量为1.0g的质点相距10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定.如

2、果它们之间只有万有引力作用，问：无初速释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？T’A解设想m绕m做半径为l的圆周运动，m为圆心.由于两质点只有万有引力作用，故可视为m做类似于太阳系行星的运动.设m在A点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动，m为焦点，如图4-18所示.设圆运动和椭圆运动的周长分别为T和T，圆半径和椭圆半长轴分别为l和l，由开普勒第三定律有Tl=图4-18当m在A点的速度减为零时，有l→，则m从A运动到m的时间t=.又因为m做圆周运动时，受向心力F==ml作用，故=.由、两式得T=2（l），所以t==(

3、)=1.36×10s.3.求半径为R的液态行星中心处压强，假设液态不可压缩且密度为ρ.若R=6.4×10m，ρ=1.7×10kg/m，计算此压强。解将行星球体分成大量厚△r的薄球层.不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零.为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为m的微粒.圆锥从球层上分出面积分别为S和S两部分（图4-19）.若球层单位面积表面摊有物质的质量为μ，则S和S部分对质量m的万有引力OΩ分别为但是Ω,式中：Ω为圆锥顶点O处立体角.作OM=OA和OM=OA，所以∠OAM=∠OAM.图4-19此外，∠O

4、AB=∠OAB.因为α=∠OAB-∠OAM，α=∠OAB-∠OAM，所以α=α，因此，=.结果F=F，这两个力彼此相互平衡.对球层其他部分进行类似研究，我们证明了前面作出的结论.体积△S△r元层所受指向行星中心的引力为.式中：r是从此元层到行星的距离.由此求出厚△r部分压强的增加为.于是在离行星中心距离r处的压强为.由于等于图像y=r与轴r所围图形面积，所以，因而.取行星表面处压强等于零，得到.在行星中心处（r=0）压强等于.代入ρ和R数值，得到P≈1.6×10N/m.4.使航天器飞越太阳系的设计方案之一，建

5、议使用面积S=1km的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径R=1.5×10km的地球轨道运行时，太阳帆展开.在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向，在地球轨道上太阳光压强为p=10pa.问：（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？（2）当航天器质量为多少时，它可以飞到半径R=2.3×10km的火星轨道？不考虑地球以及其他行星的引力影响.太阳质量与万有引力恒量的乘积等于MG=1.3×10km/s.解（1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上，这两个力的合力为F=G-pS=G-G=G可见，太阳光压好像减少了

6、太阳对航天器的引力.这个力结果是使太阳质量不是M，而是某个减少后的等效质量，即M=M-.我们利用引入的等效质量，可以不考虑太阳光压而进一步解题.在质量为M的物体的引力场里，航天器总机械能为E=mv-G.根据能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于E=mv-G，式中：v为航天器在离太阳距离R且当帆张开时具有的速度。根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.m=G，即v=.由此可见，E=G()=G().如果E≥0,即在下面条件下≥0，航天器可以飞离太阳系。由此求出，当航天器质量为多少时这才

7、可能实行。（2）设M为某一质量m时，航天器与火星轨道相切，[航天器能够飞到火星轨道（穿过轨道）所具有的一切可能质量m中，m是最大的].在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R+R）（图4-20），在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。根据机械能守恒定律，有G=-G，V-V=2GM（-）.根据开普勒第二定律VR=VR，即图4-20V=V.综合上两式并考虑到v=，经不太复杂代换后得到2MR=M（R+R），即2（M-）R=M(R+R）.由此求出航天器可以飞到火星轨道所具有的最大质量m：m=≈10kg.5.质量

8、为400kg的宇宙飞船绕地球沿离地面高h=200km的圆周轨道运行.启动火箭，发动机在短时间△t内工作，使宇宙飞船速度增加了△v=10m/s，而运行轨道变为椭圆形，离地面最近距离h=200km，离地面最远距离h=234km.球在离地面最远距离处宇宙飞船的速度v为多少，火箭发动机牵引力F多大，工作时间△t多长，消耗燃料质量△m多少以及火箭发动机的工作效率η多大.飞船质量的变化不计.地球的半径R≈637