概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

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1、概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为0.5)．解：(1)设X为1000个产品中废品的个数，则X～B(0.03,1000)，有E(X)30，D(X)29.1，由切比雪夫不等式，得P(20X40)P(2030X304030)29.1P(10X3010)P(X3010)10.709．210(2)设X为200个新生儿中

2、男孩的个数，则X～B(0.5,200)，有E(X)100，D(X)50，由切比雪夫不等式，得P(80X120)P(80100X100120100)507P(20X10020)P(X10020)1．22082．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，估计P(10X18)．解：设X为该骰子掷第i次出现的点数，则i1P(Xk)，i1,2,,6，k1,2,,6．i617E(X)(123456)，i622122222291E(X)(123456)，i662235D(X)E(X)

3、[E(X)]，i1,2,3,4．iii12因为XXXXX，且X，X，X，X相互独立，1234123435故有E(X)14，D(X)．3由切比雪夫不等式，得1P(10X18)P(1014X141814)P(4X144)P(X144)35310.271．243．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g，标准差为10g，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5kg的概率．解：设X为一袋袋装茶叶的净重，X为一盒茶叶的净重，由题可知i200XXi，E(Xi)100，D(Xi

4、)100，i1,2,,200．i1因为X，X，…，X相互独立，则12200200200E(X)E(Xi)20000，D(X)D(Xi)20000．i1i1200XE(X)20500E(X)P(Xi20500)P()i1D(X)D(X)X200002050020000P()2001020010X200005P()2001022X20000由独立同分布的中心极限定理，近似地服从N(0,1)，于是20010X200005P()1(3.5)0.0002．20010224．有一批建筑用

5、木桩，其80%的长度不小于3m．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解：设X为100根木桩中短于3m的根数，则由题可知X～B(100,0.2)，有E(X)20，D(X)16，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得2P(X30)1P(X30)XE(X)30201()1()D(X)41(2.5)0.0062．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h的概率．解：设X为第i只电器元件的寿命，由题可知X～E(

6、0.01)，i1,2,,16，且X，ii1X，…，X相互独立，则E(X)100，D(X)10000．216ii161616记XXi，则E(X)E(Xi)1600，D(X)D(Xi)160000．i1i1i1XE(X)1920E(X)P(X1920)P()D(X)D(X)X160019201600X1600P()P(0.8)，400400400X1600由独立同分布的中心极限定理，近似地服从N(0,1)，于是400X1600P(0.8)1(0.8)0.2119．4006．在数值计算中中

7、，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为55计算误差在区间[510,510]上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于0.03的概率．55解：设X为每个数值的误差，则X～U(510,510)，有ii810E(X)0，D(X)，i1,2,,1200．ii12120012006从而E(X)E(Xi)0，D(X)D(Xi)10．i1i16由独立同分布的中心极限定理，X近似地服从N(0,10)，于是XE(X)0.03E(X)P(X0.03)P()D(X)D(X

8、)3X00.030P()2(3)10.9974．441010120012001212