概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

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1、概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1.用切比雪夫不等式估计下列各题的概率.(1)废品率为0.03,1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率;(2)200个新生儿中,男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为0.5).解:(1)设X为1000个产品中废品的个数,则X~B(0.03,1000),有E(X)30,D(X)29.1,由切比雪夫不等式,得P(20X40)P(2030X304030)29.1P(10X3010)P(X3010)10.709.210(2)设X为200个新生儿中

2、男孩的个数,则X~B(0.5,200),有E(X)100,D(X)50,由切比雪夫不等式,得P(80X120)P(80100X100120100)507P(20X10020)P(X10020)1.22082.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X,估计P(10X18).解:设X为该骰子掷第i次出现的点数,则i1P(Xk),i1,2,,6,k1,2,,6.i617E(X)(123456),i622122222291E(X)(123456),i662235D(X)E(X)

3、[E(X)],i1,2,3,4.iii12因为XXXXX,且X,X,X,X相互独立,1234123435故有E(X)14,D(X).3由切比雪夫不等式,得1P(10X18)P(1014X141814)P(4X144)P(X144)35310.271.243.袋装茶叶用及其装袋,每袋的净重为随机变量,其期望值为100g,标准差为10g,一大盒内装200袋,求一盒茶叶净重大于20.5kg的概率.解:设X为一袋袋装茶叶的净重,X为一盒茶叶的净重,由题可知i200XXi,E(Xi)100,D(Xi

4、)100,i1,2,,200.i1因为X,X,…,X相互独立,则12200200200E(X)E(Xi)20000,D(X)D(Xi)20000.i1i1200XE(X)20500E(X)P(Xi20500)P()i1D(X)D(X)X200002050020000P()2001020010X200005P()2001022X20000由独立同分布的中心极限定理,近似地服从N(0,1),于是20010X200005P()1(3.5)0.0002.20010224.有一批建筑用

5、木桩,其80%的长度不小于3m.现从这批木桩中随机取出100根,试问其中至少有30根短于3m的概率是多少?解:设X为100根木桩中短于3m的根数,则由题可知X~B(100,0.2),有E(X)20,D(X)16,由棣莫弗—拉普拉斯定理,得2P(X30)1P(X30)XE(X)30201()1()D(X)41(2.5)0.0062.5.某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布.现随机选取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件寿命总和大于1920h的概率.解:设X为第i只电器元件的寿命,由题可知X~E(

6、0.01),i1,2,,16,且X,ii1X,…,X相互独立,则E(X)100,D(X)10000.216ii161616记XXi,则E(X)E(Xi)1600,D(X)D(Xi)160000.i1i1i1XE(X)1920E(X)P(X1920)P()D(X)D(X)X160019201600X1600P()P(0.8),400400400X1600由独立同分布的中心极限定理,近似地服从N(0,1),于是400X1600P(0.8)1(0.8)0.2119.4006.在数值计算中中

7、,每个数值都取小数点后四位,第五位四舍五入(即可以认为55计算误差在区间[510,510]上服从均匀分布),现有1200个数相加,求产生的误差综合的绝对值小于0.03的概率.55解:设X为每个数值的误差,则X~U(510,510),有ii810E(X)0,D(X),i1,2,,1200.ii12120012006从而E(X)E(Xi)0,D(X)D(Xi)10.i1i16由独立同分布的中心极限定理,X近似地服从N(0,10),于是XE(X)0.03E(X)P(X0.03)P()D(X)D(X

8、)3X00.030P()2(3)10.9974.441010120012001212

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