高一数学：函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

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1、课时数量√2课时（120分钟）适用的学生水平☐优秀☐中等☐基础较差教学目标（考试要求）理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数单调性．根据定义证明给定函数在指定区间上的单调性．能讨论简单复合函数的单调性．渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．教学重点、难点重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性．难点：复合函数的单调性分析．建议教学方法数形结合，讲练结合第3讲函数的单调性资料，同号，平均变化率＞0，增函数；，异号，平均变化率＜0，减函数．教学内

2、容一、知识梳理单调性定义设函数＝的定义域为A，区间.如果取区间上的任意两个值1,2，改变量＞0，则当＞0时，就称函数在区间上是增函数；当＜0时，就称函数在区间上是增函数．如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间）．34二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．设，若有（1）＞0，则有上是增函数．（2）＜0，则有上是减函数．F提示函数、公共定义域指的定义域与的定义域的交集．在函数、公共定义

3、域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数．函数的单调性常应用于如下三类问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小．（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值．若函数在定义域上递增，则函数值域为(，)；F提示这一连串的看似相同的结论，结合单调函数的图象

4、不难理解．若函数在定义域上递减,则函数值域为(，)；若函数在定义域上递增，则函数值域为[，]；若函数在定义域上递减，则函数值域为[，]；若函数在定义域上递增，则函数的最大值为，最小值为；若函数在定义域上递减，则函数的最大值为，最小值为34；三、典型例题精讲［例1］若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是()A.在上是增函数B.在上是增函数C.在上是减函数D.在上是增函数，在上是减函数解析:由函数在上是减函数，得＜0，又函数在上是减函数，得＜0，于是，函数，在上都是减函数，∴函数在上是减函数，故选C．【

5、技巧提示】　熟悉函数，，，的单调性与、的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．［例2］求函数的最大值．解析：由，知函数在其定义域[3，+¥)上是减函数．　　　　所以的最大值是．F提示利用函数的单调性求函数的值域．这是求函数的值域的又一种方法．【技巧提示】　显然由使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．又例　　已知，则函数的值域是　　.解析：∵　在上单调递增，∴　　函数的值域是．即　．34F提示关于复合函数及复合函数的单调性问题，可由学生先初步了解，待学习基本初等函数时，逐步积累，再总结

6、．再例求函数的值域．解析：∵　　在定义域上是增函数，　　∴　　函数的值域为　．［例3］函数在R上为增函数，求函数单调递减区间．解析：令，则在(－∞,－1上递减，又函数在R上为增函数，F提示讨论给定函数在指定区间上的单调性，通常利用单调性的定义。作差，变形，判别符号是常规步骤。∴函数单调递减区间为(－∞,－1.【技巧提示】　　这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数的单调性，与的单调性和单调区间相同．如果变函数在R上为减函数，那么函数的单调性与函数的单调性相反，即函数单调递增区间为(

7、－∞,－1.又例　设函数在R上为减函数，求函数单调区间．资料被称为对号函数．对号函数是奇函数，其图象是双曲线，轴和直线是其渐近线．再例　设函数在R上为增函数，且＞0，求证函数在R上单调递减．［例4］试判断函数在上的单调性并给出证明.解析：设，由于故当时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数.34【技巧提示】是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数的增函数区间为和，减函数区间为和．但注意本题中不能说在上为增函数，在上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或

8、”．又例：求函数的最小值．解析：由,,用单调性的定义法易证　在上是增函数，易求函数的最小值为为所求．再例：已知函数.若对于,＞0恒成立，试求的取值范围.解析：由＝.当＞0时，显然有＞0在恒成立；≤0时，由知其为增函数，只需的最小值＝3＋＞0,解之，＞－3.∴当＞－3时，＞0在上恒成立.［例5］已知是定义在R上的增函数，对x∈R有＞0，且＝1，设=，讨论的单调性，并证明你的结论．34解析：在R上任取、，设＜，∴＞，