固有特性近似计算

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1、第四章多自由度系统固有特性的近似计算多自由度系统固有频率与主振型的计算是振动分析中的最重要和最基本的计算。当自由度数较大时，求解计算的工作量较大；工程上可能只需求出较低阶的若干固有频率与主振型。固有特性的近似计算方法：瑞利能量法；邓克利法；李兹法；矩阵迭代法；子空间迭代法；(略)传递矩阵法。4.1瑞利（Rayleigh）能量法先假设系统的振型，再用能量法计算其固有频率。设有一n自由度系统，其质量矩阵为[M],刚度矩阵为[K]，它的动能与势能为：系统作某阶主振动时，最大动能与最大势能：根据机械能守恒定律Tmax=Umax

2、，可求：RI(A)称为第一瑞利商。当{A}分别取为系统的各阶主振型{A(i)}时，即可求出各阶固有频率：注意：由于{A}是假设的振型，因此求出的各固有频率只能是估计值；由于高阶振型很难做出合理的假设，故一般只能估算最低阶固有频率。结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。4.1瑞利（Rayleigh）能量法结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率

3、的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。证明如下：对于n自由度系统存在n个特征值wi2，对应有n个特征矢量{AN(i)}(设已经正则化），它们是相互线性独立的，可以构成n维线性空间的一个完备基。任何一个假设振型{A}都可以表示为n个正则振型{AN(i)}的线性组合：其中c1，c2，…，cn为比例因子，表示相应主振型在假设振型中所占比例的大小。若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，则有：4.1瑞利（Rayleigh）能量法4.1瑞利（Rayleigh）能量法假设上限估值结论：若假设的{A}接近于第一

4、阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。4.1瑞利（Rayleigh）能量法结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。将得：代入瑞利能量法也可用于由柔度矩阵[d]建立系统运动方程的情况：两次导数代入上式，得：又因：4.1瑞利（Rayleigh）能量法同样可以证明：对于同一假设振型{A},总存在有：即用第二瑞利商算出的固有频

5、率比用第一瑞利商算出的更接近真值。例4.1在如图（例3.5）所示的三自由度系统，求此系统的固有频率和主振型。解：前面已经算出系统的质量矩阵和刚度矩阵：柔度矩阵为：4.1瑞利（Rayleigh）能量法不妨先粗糙地取假设振型{A}=[111]T,由此假设振型可求得：若取{A}=[123]T,可求得：若取{A}=[356]T,可求得：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第一个假设振型{A}=[111]T：相当在质量m1上沿坐标方向作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。第二个假设振型{A}=[123]T：相当在质量m3上沿

6、坐标方向作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。第三个假设振型{A}=[356]T：相当在各质量上沿坐标方向同时作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。实际振型{A(1)}=[0.4550.8011.000]T实际第三种假设振型与实际最接近，其第二瑞利商与第一阶固有频率的平方最接近。4.2邓克利（Dunkerley）法瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估值。邓克利法将给出系统最低阶固有频率的下限估值。n自由度系统的自由振动位移方程：设解为：将其代入振动位移方程，并以w2除全式，得振型方程：其特征方程为：当系统

7、的质量矩阵[M]为对角阵时：特征方程变为：即：展开得：4.2邓克利（Dunkerley）法特征方程：其刚度为：考虑到系统的固有频率：则近似地只保留第一项1/w12。等式左边：等式右边：是第i个质量处作用单位力时，系统在该处的柔度系数。设想系统只有一个质量mi存在，则成为单自由度系统，设这种假想的系统的固有频率为Wi，则有：故，有：4.2邓克利（Dunkerley）法特征方程展开后得将各阶固有频率代入特征方程并相加得系统最低阶固有频率的平方值w12的倒数，近似地等于各质量mi（i=1，2，…，n）单独存在时所得各固有频率

8、平方值Wi2的倒数的和。由于上式的左边舍去了一些正数项，由此求出1/w12的比实际值偏大，即w12比实际值偏小，因此，用邓克利法将给出系统最低阶固有频率的下限估值。上式右边所有各项的和实际上是特征方程第二个矩阵的迹，故邓克利法又叫迹法。邓克利法也适用质量矩阵为非对角阵的情况，只是对应矩阵迹的计算复杂些。4.2邓克利（Dunkerl