《短路径问题公开》ppt课件

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1、授课人：张春涛13.4最短路径问题AB.将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边饮马，然后到军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？将军饮马问题：AC问题一：将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边饮马。问：在河边的什么位置饮马,将军所走的路径最短？问题一：在直线上找一点C，使AC最短？直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短AB两点之间线段最短问题二：将军骑马从城堡A出发，到军营B去，途中经过一条笔直的小河。将军问：在小河的什么地方饮马可使他所走的路径最短？问题二：在直线上找一点C，使CA+CB最小？C.将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边饮马，然后到军营B。

2、将军问：到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？ABA´C探究一：将军饮马问题巩固训练：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？你学会了吗？草地河边城堡如图：一位将军骑马从城堡A出发，先骑马去草地边OM的某处吃草，再骑马去河边ON喝水，最后回到城堡A，问：这位将军怎样走路程最短？OMN探究二：将军饮马问题数学问题：在射线OM、ON上分别找一点P、Q，使AP+PQ+QA最短A能力训练：已知P是∠BAC的边AB上的点，你能在AC、AB上分别确定一点Q和R，使PQ+QR最短吗？ACPB造桥选址问题的延伸探索造桥选址问题如图，A和B两地在一条

3、河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析BA1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１

4、＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维

5、方法一1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２　＝ＰＱ　；连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；

6、从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．思维方法二沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１　点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２　＝MN　；连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条

7、河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处问题解决沿