《点集间的距离》ppt课件

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1、第三节点集间的距离第二章点集主讲：胡努春Cantor集对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集1.Cantor集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n⑴定义：令称P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为Cantor集⑵Cantor集的性质a.分割点一定在Cantor集中Cantor集P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b.P的“长度”为0，去掉的区间长度和c.P没有内点()x-εxx+ε第n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Ca

2、ntor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。证明：对任意x∈P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中d.P中的点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点。证明：对任意x∈P，只要证：由Cantor集的作法知而的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间()x-δxx+δ数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十

3、进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数e.P的势为（利用二进制，三进制证明）证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000…=0.0222222…（三进制小数）0.2000000…=0.1222222…Cantor函数（Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）()()()()()()()01/91/32/311/2

4、1/81/43/85/87/83/4如此类似取值一直定义下去Cantor函数a.在G=[0,1]-P的各构成区间上，c.当时,规定称为[0,1]上的Cantor函数。显然在[0,1]上单调不减b.规定如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为Cantor函数在[0,1]上连续注：Cantor函数把长度为零的集合连续拉长成长度为1的集合否则，若在x0∈(0,1)处不连续，则开区间非空，此区间中的每个数都不属于的值域，这与矛盾.（端点情形类似说明）2.填满正方形的曲线注：相应映射f:[0,1]→[0,1]×[0,1]是满射，但不是单射如0.12090909090909…与0.0299

5、99999999…都对应到点(0.1000000…,0.2999999…)=(0.09999999…,0.29999999…)(各有限小数（除0外）都写成以9为循环的小数）将填满正方形[0,1]×[0,1]连续曲线[0,1]×[0,1][0,1]问:[0,1]与[0,1]×[0,1]间不存在连续的一一对应?[0,1]与[0,1]×[0,1]间存在一一对应（即单又满），势都为连续势;[0,1]与[0,1]×[0,1]间存在连续满映射；此例引起人们对维数的重新思考(什么叫曲线，曲面)（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位置所需的坐标个数）各方向扩大2倍2=214=228=23维数n=log2n

6、/log2Sierpinski垫的维数是log3/log2Cantor集的维数是log2/log3参见：《分形对象：形、机遇和维数》B.Mandelbrot;《实迭代》张景中；《数学的源与流》张顺燕；《集合与面积》李惠玲;分形艺术:http://www.fractal.com.cn;分形频道http://www.fractal.net.cnKoch曲线的维数是log4/log3面积有限但边界线无限长(4/3)n的极限（20世纪上半世纪）有限维到无限维(泛函分析)（20世纪下半世纪）有限维到分数维(分形几何)Mandelbrot集合Mandelbrot集合局部放大Nova分形Newton分形3

7、.点集间的距离b.若,则d(A,B)=0;反之则不一定成立，如A={n-1/n},B={n+1/n}（都是闭集）c.d(x,B)=0当且仅当注：a.若x∈B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)证明：利用d(x,E)≤d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)z∈E定理设E为Rn中非空点集，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。可得d(