《数值逼近》蒋尔雄第二版课后习题答案

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1、第一章1.用3位数字计算出方程：的解x，y，再用6位数字计算出x与y，已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么？解：用3位浮点计算：，即得：，解得：用6位浮点计算：，即得：，解得：此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结果越精确。11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多少？解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：共有个，再加上中的80个负数以及0，故共有161个。15．求的误差分析。解：其中。16．有误差，，问的传播误差是多少？解：

2、因为若，则，又由于：，则：当时，，当时，，当时，。14．假设有一种算法，求可得到6位有效数字，问为了使有4位有效数字，应取几位有效数字？解：因为其中：为取近似值时的相对误差，为求开方运算的相对误差，由题设和定理1知所以：若，即对取6位有效数字时，有4位有效数字（由定理1）。10．都是中的数，试给出的向前误差分析和向后误差分析。解：（1）由定理5，向前误差分析为其中，。（2）向后误差分析，仍由定理5其中：。第二章函数的插值1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg

3、(0.0015)，并估计误差；解：先作差分表：取：又由：所以误差为：2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。解：（1）用牛顿方法。先作差商表：所以：（2）用Lagrange方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：3．给定的函数值如表20所示，求解：先作差商表：即：故：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。解：先作差商表：所以，。故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：6．若是小量，则三个函数值应怎样线性组合，才能得到较好的的近似值。解：由于

4、所以：，即：。7．证明。证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为13．找一个5次Hermite多项式，满足解：由差商表：（略）14.证明（34）式成立，即证明证明：因为：17．解：因为，若是贝塞尔函数的反函数，为求的零点，只需求，下面用插值方

5、法计算，先作差商表：于是根：或样条插值和曲线拟合2．，作4次多项式的等距插值，求，并比较与的差别，如果用分段插值，那么结果将如何？解：（1）先作差商表所以：，故：。（2）若采用分段插值，则在上，，所以：，结果一样。4．对在中用等距分段Hermite3次插值，其余项是什么？解：若对在中用等距分段Hermite3次插值，则在每个小区间上，由第二章定理8知：由于，所以在上，注意右端与无关，故在上，有：。5．对函数，在区间上用等距线性插值、等距Hermite3次插值、等距样条插值，问步长应取多少才能保证各自的截断误差小

6、于？解：因为，所以，因此。若在区间上用等距线性插值，则误差为：欲使，只须。若在区间上用等距Hermite3次插值，则误差为：欲使，只须若在区间上用等距样条插值，则由定理5，有：欲使，只须。7．对，在上取5个等距节点，求3次自然样条插值。解：取节点，作差商表：对于自然样条，，按公式（10）形成方程组：解得：。由（9）式即得样条函数的表达式（略）。11．对于3次样条函数，如果给定的条件是，如何给出边界条件使得唯一确定。解：由于在上是3次多项式，故在上是1次多项式，而且满足，因此可表示为于是积分两次并利用（为未知量）

7、可定出积分常数：事实上，积分两次后，记，再由可定出。于是：即：若考虑在上，有两边的应相等，即：，整理并记，得：若给定边界条件，则形成方程组：该方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，故唯一确定。12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数

8、连续，即共有个方程。这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。若要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。15．证明满足周期边界条件的3次样条插值函数也具有极小模性质，即：，其中是二阶导数连续函数，且，，。证：设是二阶导数连续，且满足，，的任意一个函数，