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时间:2018-11-30
《《数值逼近》蒋尔雄第二版课后习题答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第一章1.用3位数字计算出方程:的解x,y,再用6位数字计算出x与y,已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么?解:用3位浮点计算:,即得:,解得:用6位浮点计算:,即得:,解得:此例说明,在计算过程中,选取有效数字位数越多,相对误差越小,计算结果越精确。11.将(2,4,-2,2)中的数全部列出来,且在实轴上表示出来,问总共有多少?解:(2,4,-2,2)系统中的所有正数为:共有个,再加上中的80个负数以及0,故共有161个。15.求的误差分析。解:其中。16.有误差,,问的传播误差是多少?解:
2、因为若,则,又由于:,则:当时,,当时,,当时,。14.假设有一种算法,求可得到6位有效数字,问为了使有4位有效数字,应取几位有效数字?解:因为其中:为取近似值时的相对误差,为求开方运算的相对误差,由题设和定理1知所以:若,即对取6位有效数字时,有4位有效数字(由定理1)。10.都是中的数,试给出的向前误差分析和向后误差分析。解:(1)由定理5,向前误差分析为其中,。(2)向后误差分析,仍由定理5其中:。第二章函数的插值1.下列函数表(表18)中的数字都是有效数字。(1)通过ctgx的函数表,进行插值,求ctg
3、(0.0015),并估计误差;解:先作差分表:取:又由:所以误差为:2.给定的函数值如表19所示,用3种途径求3次插值多项式。解:(1)用牛顿方法。先作差商表:所以:(2)用Lagrange方法化简得:(3)用内维尔方法再由:得:3.给定的函数值如表20所示,求解:先作差商表:即:故:4.求,利用,取节点作插值,并估计截断误差。解:先作差商表:所以,。故:其截断误差:由于,所以5.证明:在两个节点:上作线性插值,当时,余项为证:因为其中:6.若是小量,则三个函数值应怎样线性组合,才能得到较好的的近似值。解:由于
4、所以:,即:。7.证明。证:设,则11.用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值,满足:。解:先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件:满足上述条件的的多项式可以写成:其中A为待定系数,再由条件得:即:再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件:,令:它满足上述条件中除外的所有其他条件,于是再由所以,于是:于是所求的埃尔米特插值多项式为13.找一个5次Hermite多项式,满足解:由差商表:(略)14.证明(34)式成立,即证明证明:因为:17.解:因为,若是贝塞尔函数的反函数,为求的零点,只需求,下面用插值方
5、法计算,先作差商表:于是根:或样条插值和曲线拟合2.,作4次多项式的等距插值,求,并比较与的差别,如果用分段插值,那么结果将如何?解:(1)先作差商表所以:,故:。(2)若采用分段插值,则在上,,所以:,结果一样。4.对在中用等距分段Hermite3次插值,其余项是什么?解:若对在中用等距分段Hermite3次插值,则在每个小区间上,由第二章定理8知:由于,所以在上,注意右端与无关,故在上,有:。5.对函数,在区间上用等距线性插值、等距Hermite3次插值、等距样条插值,问步长应取多少才能保证各自的截断误差小
6、于?解:因为,所以,因此。若在区间上用等距线性插值,则误差为:欲使,只须。若在区间上用等距Hermite3次插值,则误差为:欲使,只须若在区间上用等距样条插值,则由定理5,有:欲使,只须。7.对,在上取5个等距节点,求3次自然样条插值。解:取节点,作差商表:对于自然样条,,按公式(10)形成方程组:解得:。由(9)式即得样条函数的表达式(略)。11.对于3次样条函数,如果给定的条件是,如何给出边界条件使得唯一确定。解:由于在上是3次多项式,故在上是1次多项式,而且满足,因此可表示为于是积分两次并利用(为未知量)
7、可定出积分常数:事实上,积分两次后,记,再由可定出。于是:即:若考虑在上,有两边的应相等,即:,整理并记,得:若给定边界条件,则形成方程组:该方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵,故唯一确定。12.若是实轴上个由小到大排列的点,考虑一个上的函数,它在上是一个二次多项式,并且是已知值,又在内节点上连续,这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多,并问加上何种条件才能使它唯一,给出求的方程。解:由于在每个小区间上,有3个待定系数,于是在上共有个待定系数,。要满足的条件是:通过型值点:,共有个方程;的一阶导数
8、连续,即共有个方程。这样总共有个方程,而待定系数有个,于是可以有很多。若要使它唯一确定,加上即可。事实上:考虑在上是一个二次多项式,可以写成:,若记为未知量,则:,再由得,故,再由得:再由为已知,从而由,可求得,且由递推关系知是唯一确定的。15.证明满足周期边界条件的3次样条插值函数也具有极小模性质,即:,其中是二阶导数连续函数,且,,。证:设是二阶导数连续,且满足,,的任意一个函数,
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