四年级奥数第一讲 数的整除问题

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1、第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b

2、a”表示。2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________；7的因数：__________________；2的因数：__________________；8的因数：__________________；3的因

3、数：__________________；9的因数：__________________；4的因数：__________________；10的因数：__________________；5的因数：__________________；11的因数：__________________；6的因数：__________________；12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1

4、只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（３）0和１既不是质数，也不是合数。、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。这里所说的“两个数”是指除0外

5、的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。”例如，2与7、13与19、3与10、5与26等等74、质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数练习：13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数练习---把下列各数分解质因数（1）21（2）42（3）36当数字比较大的时候，我们用短除法可以快速的分解质因数例题---用短除法把下列各数分解质因数（1）180（2）630练习1、把下列各数分解质因数（1）960（2）25202、（第九届

6、小学希望杯全国数学邀请赛）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是3、（2012年第十届希望杯试题）只能被1和他本身整除的自然数叫做质数,如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是。4、（第七届希望杯试题）若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=.5、(2016年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数，若a×b+b×c=119，则a+b+c=        . 7二、数的整除性：1、能被2整除的数的特征：个位数一定是0，2，4，6或8。偶数：能被2整除的整数称

7、为偶数，如：0，2，4，6，8，10，12，14，…奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，…偶数和奇数有如下运算性质：　　偶数±偶数=偶数，　　奇数±奇数=偶数，　　偶数±奇数=奇数，　　偶数×偶数=偶数，　　偶数×奇数=偶数，　　奇数×奇数=奇数。提醒：（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；2、能被5整除的数的特征是：个位是0或53、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除如：27,215等等4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能

8、被9整除如：81,216等等5、能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除如：264能被4整除，150能被25整除6、能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8或125整除。如：2168能被8整除，不能被125整除7、能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13）整除例如：判断1540是否是7的倍数？解：把1540分成1和540两个数，因为540-1=539，