基于弹性力学模型的头部重量测算方法

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1、基于弹性力学模型的头部重量测算方法周一舟陆逸晨程思摘要人体头部的重量，在医学、生物、刑事侦查等领域都可能成为重要的数据，然而目前对此仍缺少令人信服的测算结果。进行单独称重并不具备可行性，而活体直接测量的误差难以控制。因此，本文建立物理与数学模型，确立了头部重量与其他量的函数关系，提供了通过其他便于测量、易于控制误差的量来推算头部重量的方法。受四足动物体重测算方法的启发，将头与颈部的关系简化成悬臂梁与支点的关系，运用弹性物理公式，依据经验与物理学知识做出合理假设，推算出人体头部重量与头部长度的函数关系，通

2、过多组数据拟合函数，减小偶然的测量误差的影响，并依据拟合的结果在一定程度上进一步修正上述模型的偏差。模型检验的结果证明了上述测算方法在误差允许范围内的合理性。关键词：弹性悬臂梁，最小二乘法，头部重量，相对偏移量一、问题重述在测量头部重量的问题上，由于不能取下头部进行单独称重，通过直接测量得到人体头部的重量，需要严格控制条件且容易产生较大误差；此外较容易想到的是通过排水法测得头部体积再利用密度求出质量，虽然测得体积的误差可以控制在较小水平，但测量不便，另外人体各处密度大小有不可忽略的差别，而人体头部密度难

3、以测算，且目前查找不到可信的密度数据。如果能够根据人体结构建立物理模型，将头部重量和一些易于测量的量如头部长度等确立起函数关系，通过多组数据的拟合减小偶然因素下的测量误差，在误差允许的范围内用这些便于测量的量推算出头部重量，将成为一个合理并具有可行性的方法。为此，需要解决以下问题：1.寻找合理、高还原度的物理模型以模拟头部及颈部的结构与受力关系；2.进行力学分析，猜想与头部重量相关的易于测量的物理量有哪些；3.依据力学知识，结合量纲分析推算头部受到的支持力（可看作头部重量）与上述物理量的关系；4.利用实

4、际测量得到的数据拟合出函数关系，确定待定系数。二、模型假设1.颈部完全放松的时候，对头部的支持力可以忽略不计；2.在物理模型中将头部简化成质量均匀分布的圆柱；3.头在自然的状态下是受力平衡的，颈部对头部的支承力可看作头重；4.假设躺下的人在自由状态下头部可看作一个弹性悬臂梁（一端为固定支点，一端为自由端），且偏转角度为自然情况下的最大值θ；5.自然状态下人体头部前后偏转的最大角度一定，即：sinθ＝δL＝const一、符号说明G头部重量m头部质量L头长（圆柱的高）d头部直径（圆柱底面直径）δ自由状态下躺

5、下时头部下垂长度θ自然状态下人体头部偏转的最大角度二、模型建立与求解（一）物理模型的建立首先，定义人体头部为低头或仰头时，颈部活动的关节以上至头顶的部位。所讨论的头长、头重均为上述定义下头部的长度与重量。参照四足动物躯干的简化方法［1］，抛开复杂的生物组织，从力学角度把人体头部简化为弹性悬臂梁（如图）。依悬臂梁公式，头长L，头部直径d，头部下垂长度δ满足以下关系［2］：δ＝qL48EIG＝qL其中q为悬臂梁的均布荷载（N/m），I为截面惯性矩，且有惯性矩公式：I＝πd464因此有：δL＝k1GL2d4，

6、k1为常数在模型假设5下，存在关系L3∝d2故G＝kL4，k为常数－——————（1）（1）式说明，G与L4成正比。即在忽略重力加速度的差别的前提下，m与L4成正比。而对于同一种生物，（1）式中的比例系数k是固定的。因此只需用最小二乘法，结合实际测量的数据拟合出G与L4的线性函数关系，确定上述k的值，即可把不便测量的G与便于测量的L联系起来，得到估测头部重量的方法。（一）数据的测量1.场地设置铺设足够长的平台，在平台一端放置用来称量头部质量的电子秤，其余部分用来供测试者平躺。调整平躺处的高度，确保测试者

7、平躺时头部的重量完全由电子秤支撑（即脖子完全放松）。2.头部质量的测量测试者躺在平台上，头部与颈部的分界点（依前文定义）与电子秤的边界平齐。颈部完全放松，头部自然下垂置于秤上。至电子秤示数稳定，记下读数。记下多组读数，舍去偏离最大的数据，对余下数据求平均值，作为该测试者头部的质量m。3.头部长度的测量找到头部与颈部的分界点，将硬板在该分界点处与颈部垂直放置；将另一块硬板与头顶相切水平放置，用皮尺测量两块硬板之间的距离。多次测量，同2中方法处理，得到该测试者头部的长度L。（二）函数的拟合1.将15位测试者

8、的相关数据m、L、L4输入在Excel中，运用CORREL函数求得相关系数r≈0.79,并绘出m-L4散点图如下：相关系数表明了m与L4具有较显著的线性相关关系，而这一点也在散点图上清晰地反映了出来。2.用matlab中的polyfit函数求出线性关系的系数，得到函数关系m＝1.1841L4＋0.7256即：G＝11.6042L4＋7.1109取g＝9.8ms2（其中G的单位为N，L的单位为cm）一、模型检验1.模型检验：对另外的测试者进行