生物统计学教学案[10]

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1、完美.格式.编辑生物统计学教案第十章一元回归及简单相关分析教学时间：5学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握一元线性回归方程,掌握一元线性回归方程的检验和相关，了解一元非线性回归和多元回归与相关。讲授难点：一元线性回归方程的检验和相关10.1回归与相关的基本概念函数关系：F＝ma相关关系：单位面积的施肥量、播种量和产量；血压和年龄；胸径和高度；玉米的穗长和穗重；身高和体重。相关：设有两个随机变量X和Y，对于任一随机变量的每一个可能的值，另一个随机变量都有一个分布与之相对应，称X和Y存在相关。回归：对于变量X的每一个可能的值xi，都有随机变量Y的

2、一个分布相对应，则称随机变量Y对变量X存在回归。X称为自变量，Y称为因变量。条件平均数：当X＝xi时Y的平均数μY.X＝xi，称为条件平均数。10.2一元线性回归方程10.2.1散点图NaCl含量X(g/kg土壤)00.81.62.43.24.04.8干重Y(mg/dm2)809095115130115135例不同NaCl含量对单位叶面积干物质的影响专业.资料.整理完美.格式.编辑从上图虽可以看出Y对X的线性关系，但点子并不在一条直线上。例每一NaCl含量下干物质10次重复值干重(mg/dm2)重复值NaCl含量(g/kg土壤)00.81.62.43

3、.24.04.81809095115130115135210085899410612513737510711510310312812848993921101101431275911031151131281321556799212010813112113271017895121117129148885105951101211121179839310510811412013410798598111116130132平均值86.293.1101.9109.3117.6125.5134.5如果增加每一NaCl浓度下的重复次数，用其平均值画成散点图，则点子直线

4、化的程度要好得多。上表给出10次重复的平均值，从下图中可见，点子更接近在一条直线上。当以Y的条件平均数所做的散点图，则完全在一条上。专业.资料.整理完美.格式.编辑10.2.2一元正态线性回归模型xi和各xi上Y的条件平均数μy.x可构成一条直线：μY＝α＋βX对于变量X的每一个值，都有一个Y的分布，其平均数是上式所示的线性函数。对于随机变量Y：Y＝α＋βX＋εε：NID(0,σ2)Y：NID(α+βX,σ2)上式称为一元正态线性回归模型。10.2.3参数α和β的估计在实际工作中，我们是无法得到α和β的，只能得到它们的估计值a和b，从而得到一条估计的

5、回归线：上式称为Y对X的回归方程，所画出的直线称为回归线。a是直线的截距，称为常数项；b是直线的斜率，称为回归系数。对于因变量Y的每一个观测值yi：yi=a+bxi+eiyi的回归估计值是对的估计，因此也是平均数。在各种离差平方和中，以距平均数的离差平方和为最小。因此我们就把ei=yi-平方和为最小的直线作为最好的回归线。专业.资料.整理完美.格式.编辑记,求出使L达到最小时的a和b，这种方法称为最小二乘法。为使达到最小，令：可以得到以下一组联立方程：解该方程组，得到β的最小二乘估计：及a的最小二乘估计：公式的分子部分称为X和Y的校正交叉乘积和，以S

6、XY表示。分母部分称为X的校正平方和，以SXX表示。因变量Y的平方和称为总平方和，以SYY表示。因此，b又可以表示为：专业.资料.整理完美.格式.编辑10.2.4回归方程的计算XX’=X-2.4X’2YY’=Y-110Y’2X’Y’0-2.45.7680-30900720.8-1.62.5690-20400321.6-0.80.6495-15225122.40011552503.20.80.6413020400164.01.62.5611552584.82.45.761352562560和017.92-102600200由此得出回归方程：回归系数的含

7、义是：当自变量X每变动一个单位，因变量Y平均变动11.16个单位。专业.资料.整理完美.格式.编辑10.3一元线性回归的检验10.3.1b和a的数学期望和方差上式中的σ2是由ε得到的，ε是实际观测值与总体回归估计值的离差。由于α和β都是未知的，因此无法得到εi，只能用εi的估计值ei，。称为误差平方和即为SSe专业.资料.整理完美.格式.编辑可以证明MSe是σ2的无偏估计量，因此样本回归系数b的方差a的方差根据表10－2中的7套重复数据（细线所示），和它们的平均数（粗虚线所示）所绘出的回归线。如果无限增加重复次数，最终将得到一条直线μY＝α＋βX。实

8、际上这条直线是无法获得的，只能得到它的估计直线（由一套或几套数据获得），。这些估计直线是总体回归线的无偏估计