第一章数值分析与科学计算引论.doc

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1、第一章数值分析与科学计算引论1.1误差采用数值方法求解问题，获得的是近似解。若近似程度满足不了实际问题的需要，这方法就将失效。因此构造一个合理的数值方法时必须注重误差分析，注意误差的影响.1.1.1误差来源(1)模型误差：数学描述与实际问题之间的误差(2)观测误差：数值问题的原始数据，一般由观测或实验手段获得。由于测量或实验工具的精度有限，因此总有误差。(3)截断误差：实际计算只能用有限次运算来完成，而理论上的精确值往往要求用无限的过程来实现，因此需要将无穷过程进行截断。这样产生的误差通常称作截断

2、误差(与具体算法有关)。如：产生的误差.(4)舍入误差：计算机数系是有限集。因此大多数数只能用计算机数系中和它们比较接近的数来表示。由此而产生的误差就是舍入误差，如：取产生的误差。每一步的舍入误差虽是微不足道的，但经过计算过程的传播和积累，舍入误差甚至可能会“淹没”所要求的真解。从上述四种误差的来源来看，模型误差和观测误差往往是科学计算工作者不能独立解决的，甚至是尚待解决的问题。因此在数值计算过程，一般只讨论截断误差和舍入误差，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，研究控制它们的影响以保证

3、最终结果有足够的精度，既希望解决问题的算法简便而有效，又使最终结果准确而可靠。1.1.2绝对误差和相对误差为了刻划近似数的精确程度，引入绝对误差和相对误差的概念。绝对误差：设数精确值，为其近似值，称为近似数的绝对误差。绝对误差限：准确值是未知的，因此绝对误差也是未知的。因此我们常常设法估计的取值范围，即求出一个正数ε使称ε为近似值的绝对误差限或精度。则有：或表示成:相对误差:相对误差限：注：1、绝对误差限与相对误差限惟一；2、绝对误差限与相对误差限越小，近似值的近似程度越高；3、实际中通常按四舍五

4、入取近似值。1.1.3有效数字与误差的关系有效数字:如果近似值的绝对误差限是它的某一位的半个单位，则我们称它“准确”至这一位，并且从这一位起到最左边的第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。设近似值取其规格化形式：(，且)若，则称近似值有位有效数字。例1.1.1设，取两个近似值：和则，故有3位有效数字；，故有5位有效数字；例1.1.2按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数:187.9325;0.03785551;8.000033;2.7182818注：1、凡是准确值经四舍五入得到的

5、近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。因此，它从末位数字到第一位非零数字都是有效数字。2、同一个准确值的不同近似值，有效数字越多，它的绝对误差和相对误差就越小。3、在一组近似数中，若有效数字位数相同，则其中第一个有效数字越大，则其相对误差越小，即越精确。4、数字末位的零不可随意去。定理1.1.1若近似值有n位有效数字，则其相对误差限为；反之，若近似值的相对误差限，则它至少有n位有效数字。结论:有效位数越多,相对误差限越小1.1.4误差的传播算术运算中的误差估计:函数求值的误差估计：一元函

6、数情形：设具有二阶导数，由Taylor公式有：，（）因为很小，故有：----------------函数值的绝对误差----------------函数值的相对误差1.1.5病态态问题与条件数如果数值问题敏感依赖于误差，即微小的误差会导致计算结果很大的误差，称为“病态问题”。它反映了数值问题本身的“好坏”，与算法无关。不同的病态问题要通过研究特殊的算法解决。例如：解方程组：当时方程组无解；当时方程组的解为：，，当时，的微小误差会导致解的很大误差，因此方程组是病态的。计算函数值，设有误差，则的相对误

7、差为，而的相对误差为，于是，称为的条件数。条件数很大表明计算的误差误差敏感依赖于，此计算问题是病态的。通常条件条件数大于10就认为是病态的。1.1.6设计算法的注意事项1.简化计算过程，减少运算次数。减少运算次数不仅可以提高计算速度，减少误差的积累。2.避免两个相近的数相减两个相近的数相减时，会造成有效数字的严重损失。例1.1.3求的近似值。直接计算：，只有一位有效数字改变算法：，有四位有效数字。3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值，当时，舍入误差会扩大。此外，分母太小会造成机器数的溢出。4.

8、防止大数“吃掉”小数的现象如计算，计算机在计算时要对阶，,而，它在五位的计算机中表示为机器数0，于是。但若改变计算次序+10000，则不会出现大数吃小数现象。一般地，如多个数相加减，应按绝对值由小到大的的次序运算。5.使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播一般而言，在计算过程中，初始数据的产生的舍入误差总是存在的，而且前面一步的数值解的误差势必要影响到后面数值解的计算。一个算法，如果初始数据有误差，而且计算过程中舍入误差不增长，则称此算法为数值稳定的，否则称之为数值不稳定的。只有数