天津大学最优化历年试题

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1、2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型1.直解法例1.用列主元素消去解下列线性方程组（结果保留5位小数）例2.设线性方程组,其中求，并分析线性方程组是否病态?2.迭代法例1.设线性方程组为，写出求解线性方程组的Jacobi迭代格式，并确定当取何值时Jacobi迭代格式收敛.例2.写出求解线性方程组的Seidel迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中为3.插值例1.已知（1）试用二次插值多项式计算的近似值（数据保留至小数点后第5位）（2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位）例2.由下列插值条件1246741011求4次Newton

2、插值多项式,并写出插值余项.4.Runge—Kutta格式例写出标准方法解初值问题的计算格式55.代数精度例1.数值求积公式形如试确定其中参数使其代数精度尽量高,并确定代数精度.例2.验证数值求积公式是Gauss型求积公式.6．Romberg方法例对积分，用Romberg方法计算积分的近似值，误差不超过并将结果填入下表（结果保留至小数点后第五位）.012347．证明（1）设为上关于权函数的次正交多项式，以的零点为节点建立插值基函数，证明：证明:设n次正交多项式的零点为，则以这n个零点为节点建立的插值基函数是n-1次多项式，是2n-2次多项式.故当取和时

3、Gauss型求积公式等号成立,即5则有（2）对线性方程组，若是阶非奇异阵，，是的精确解，是的近似解。记证明：证明：由于是的精确解，则，又是阶非奇异阵，则，且，则故（3）初值问题有解，若，是用Euler格式解得的在处的近似值，证明：.证明：记，且，Euler格式为则有.（4）设为非奇异阵，试证：线性方程组的数值解可用Seidel迭代方法求得.5证明：因为为非奇异矩阵，故与是同解方程组，而正定，则Seidel格式收敛，即用Seidel方法一定能求得的解.（5）试导出求解初值问题的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题所得数值解为证明将在上积分,得将右端的积分

4、用梯形公式计算其近似值,并用分别代替,得将代入梯形公式得,则有得因为,得.（6）设，证明证明：的二次Lagrange插值多项式及余项形式为5其二阶导数为注意到，有即（7）证明求积公式是稳定的.（8）设初值问题中的区域D上关于满足Lipschitz条件，证明：格式是收敛的.倒数第三题，求A0、A1、A2参数的那道题，前面积分限是0到1，而后面求积公式的第一个求积节点居然小于0！（1/2-根号3/5），在积分限之外。5