高等数学(专科)复习题及答案

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1、高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分）1．函数的定义域是　　　　　　.解.。2．若函数，则．解.3．答案：1正确解法：4.已知，则_____,_____。由所给极限存在知,,得,又由,知5.已知，则_____,_____。,即,6．函数的间断点是　　　　　。解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。因为所以函数在处是间断的，又在和都是连续的，故函数的间断点是。7.设,则8．，则。答案：或9．函数的定义域为。解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。的定义域为：且}10．已知,则.解　令，，则，，11．设,则。∵。12．设

2、则＝  　　　。解　13.　　　　　　　.解：由导数与积分互为逆运算得，.14.设是连续函数，且，则.解：两边对求导得，令，得，所以.15．若，则。答案：∵∴二、单项选择题（每题2分，共30分）1．函数（）A.是奇函数；　　　　　　　　　B.是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；　　　　D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。所以B正确。2．若函数，则（）A.；　　B.；　　　　C.；　D.。解：因为，所以则，故选项B正确。3．设，则=（）．A．x　　B．x+1　C．x+2　　　D．x+3解由于，得＝将代入，得=正确答案：D4．已知

3、，其中,是常数，则（）(A),(B)(C)(D)解.,　答案：C5．下列函数在指定的变化过程中，（　）是无穷小量。　　A.；　　　　　　　　B.；C.；　　　　　　D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（）(A);(B);(C)；(D)解.,故不选(A).取,则,故不选(B).取,则,故不选(D).答案：C7．设，则在处（）A．连续且可导B．连续但不可导C．不连续但可导D．既不连续又不可导解：（B），，因此在处连续，此极限不存

4、在从而不存在，故不存在8．曲线在点（1，0）处的切线是（）．A．B．C．D．解由导数的定义和它的几何意义可知，是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是，即正确答案：A9．已知，则=（）．A.B.C.D.6解直接利用导数的公式计算：,正确答案：B10．若，则（）。A．B．C．D．答案：D先求出，再求其导数。11．的定义域为（）．A．     B．C．      D．解z的定义域为}个，选D。12.设函数项级数，下列结论中正确的是().（A）若函数列定义在区间上，则区间为此级数的收敛区间（B）若为此级数的和函数，则余项，（C）若使收敛，则

5、所有都使收敛（D）若为此级数的和函数，则必收敛于解：选（B）.13.设为常数，则级数（）.（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与有关解：因为，而收敛，因此原级数绝对收敛.故选（A）.14.若级数在时发散，在处收敛，则常数（）.（A）1（B）-1（C）2（D）2解：由于收敛，由此知.当时，由于的收敛半径为1，因此该幂级数在区间内收敛，特别地，在内收敛，此与幂级数在时发散矛盾，因此.故选（B）.15.的特解可设为（）（A）（B）（C）（D）解：C三、解答题（任选4题完成，每题10分，共40分）　1.设函数问（1）为何值时，在处有极

6、限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是　　于是有，即时函数在处连续。2．求方程中是的隐函数的导数（1）,解：方程两边对自变量求导，视为中间变量，即整理得（2）设，求，；解：，3．设函数在[0,1]上可导，且，对于（0,1）内所有x有证明在（0,1）内有且只有一个数x使.7.求函数的单调区间和极值.解函数的定义域是令，得驻点，-20+0

7、-0+极大值极小值故函数的单调增加区间是和，单调减少区间是及，当-2时，极大值；当0时，极小值.4．求下列积分(1)解：极限不存在，则积分发散.(2)　解　是D上的半球面，由的几何意义知I=V半球=(3)，D由的围成。解　关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由I几何意义知，。5．判别级数的敛散性.如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：记，则.显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散.又显见是Leibniz型级数，它收敛.即收敛，从而原级数条件收敛.6．求解微分方程(1)的所有解.解原方程可化为，（当），两边积分得，即为通解。

8、当时，即，显然满足原方程，所以原方程的全部解为及。(2)解当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有。(3)解由公式得。