高等数学北大版23无穷小量与微分

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1、2-3无穷小量与微分1.无穷小量的概念简单地说：以零为极限的变量称为无穷小量.定义如果函数当时的极限为零,那么称函数为当时的无穷小量.特别地，以零为极限的序列称为时的无穷小量.例如无穷小量的比较:都是无穷小,引例.但可见无穷小量趋于0的速度是多样的.定义.若若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小量,记作则称是比高阶的无穷小量,记作则称是比低阶的无穷小量;则称与为同阶无穷小量;则称是关于的k阶无穷小量;则称是的等价无穷小量,例1～～例2当时，例4时，当是的三阶无穷小量.因为所以时，当是的三阶无穷小量.故时是关

2、于x的二阶无穷小量,且例3～设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小无穷小的比较小结无穷小量与无穷大量的关系若为无穷大量,为无穷小量;若为无穷小量,且则则(自证)当时，为无穷大量.据此结论,关于无穷大量的问题都可转化为无穷小量来讨论.说明:2.微分的概念我们考察量这时，当时也是无穷小量.于是得到可以写成由此可见，当很小时，可以用近似地代替.以上是在在点可导的条件下进行讨论的.如果不考虑可导这个条件，即，当在点可导时，函数

3、值的改变量何时在处的改变量可以写成其中为常数.根据前面的讨论，当在点可导时，上式成立，且反过来，假定上式成立，上式两边同除以，并令取极限，得可见，函数在可导，且定义:的微分,若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即函数在点可微的充要条件是即在点可微,微分是函数改变量的线性主要部分.微分概念的意义：关于的线性主部高阶无穷小时为因此，当很小时，因此例6例7导数也叫作微商－微分之商微分的求法基本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法则微分的几何意义切线纵坐标的增量当很小时,