二倍角公式教学设计

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1、[人教A版教学设计]3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式广州市第三中学数学科刘窗洲一、教学目标：1、培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形(突出的两种变形)并理解倍角的相对性。3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力。二、重点与难点：1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式。2、难点是倍角公式的形成及公式的变形。三、教学过程(师生互动):1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的

2、正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。)☆　复习回顾：　我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢?现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角”与“两角和”的内在联系。让学生领悟到：☆举一例引导化归思想：★★★(★表示任意角)当取特殊角时，上述公式表示为:即：，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想。☆　双向沟通：(请把化归的结果填入下面的式中)简记：简记：且简记：我们发现公式的右边既有也有，假设已知的值，要

3、求的值，就必然要再求到的值，然后再代入公式求解。如果每次都如此，则会变得工作重复，试问是否可通过公式变形用或来单独表示以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度。利用，公式还可以变形为：或☆阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令=(实现一般化归为特殊)。上面这些公式都叫做倍角公式。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用。2、公式的运用：☆师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注

4、意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的。注意以下题组的变化：(让学生自己发现变化之处)在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化。为了进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计三个梯度的课堂练习以达到相关目的。☆梯度一：(熟练公式结构)（1）(公式的逆用)（2）(公式的逆用)（3）(公式的逆用)（4）(公式的逆用)（5）(公式的逆用)☆梯度二：(倍角的相对性)(1)(2)(3)(公式的逆用伴有系数的变化)(4)(公式的逆用伴

5、有系数的变化)(5)(公式的逆用伴有系数的变化)(6)(公式的逆用)☆梯度三：(公式的灵活运用)（1）(分析：先引导学生观察分析正弦的二倍角公式的右边为即一个正弦、一个余弦，而本题为两个正弦且角度也不同，提醒学生进行思考且注意变形手段，变成角度相同且一个正弦、一个余弦再求值。)(2)(分析：引导学生观察分析，此题设计的目的是让学生学会构造法与滚雪球法，体会公式的灵活多变，发现数学美。)解：原式（3）(此题留为课后练习，让学生进一步思考。)☆经过三个梯度的训练，学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后，下一步应该提供机会让学生

6、利用倍角公式进行求值运算、化简，以培养学生运算、分析和逻辑推理能力，这也正是本课时的教学目标之一与难点之一。3、典型例题:☆例1、已知，，求，，的值?[分析]本题求值时，由于运用了公式，所以要根据角的范围确定取哪一个平方根。另外，在求值时，应使用公式的三种等价式中的:.因为本题在前几节书中类似问题曾在多处出现，故可将详细解题步骤用实物投影展示给学生，以节约课堂时间。解：∵，(角的范围目的在于确定的正负取值)∴∴(公式有三种选择，应以方便计算为出发点)本题结束后，可考虑将原题进行如下一组变换:☆变式1、已知，，求，，的值?☆变式2

7、、已知，，求，，的值?(以上题组学生能口述解答方法即可，目的是训练并提高学生灵活选择公式的能力)☆例2、化简:,.[分析]本题要化简，则根号里面必须产生某式的平方，启发学生联想到有没有一个公式右边能产生平方。一旦学生联想到余弦的二倍角公式便让其自己动手去完成化简。由于有可能学生们选择了公式的三种不同等价式：则产生三种思路与三种解法，但其结果应该是一致的，只不过速度的快慢、解法的简易与复杂有差异，学生解答后再请其自己叙述其解题思路，并能互相交流、对比以达到优化教学的效果，如若出现另类解法，只要不违背数学思想应给予正面鼓励以促进学生

8、积极思维。教师可介绍一种相对理想的解法且板书：解：∵，则∴原式(解答中角度范围的确定目的是去绝对值时正负值的取舍，这也是本题目标训练之一，即符号看象限。)在本题结束后，亦可考虑将原题进行如下一组变换，以加强训练学生灵活选择公式的意识与能力，也为后面的升幂公式学习