双曲线的渐近线和离心率问题

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1、第30练　双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望]　双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一　双曲线的渐近线问题例1　(1)(2015·重庆)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C

2、：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C的方程；②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.点评　(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y＝x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程

3、.变式训练1　(2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为______________________.题型二　双曲线的离心率问题例2　(1)(2015·湖北改编)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则下列命题正确的是________.①对任意的a，b，e1>e2；②当a>b时，e1>e2；当ab时，e1

4、ae2.(2)已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(＋)·＝0，则双曲线的离心率e为________.点评　在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.变式训练2　(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a

5、>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且F2F4＝－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.题型三　双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3　(2014·福建)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，

6、B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.点评　解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3　(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：

7、－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是__________.2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的________相等.(填序号)①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为______________.4.以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.5.已知双曲线－＝1(a>0，b>

8、0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1的离心率为________.6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0