01高等数学讲义第一章4779379073

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1、目录第一章函数、极限、连续1第二章一元函数微分学24第三章一元函数积分学49第四章常微分方程70第五章向量代数与空间解析几何82第六章多元函数微分学92第七章多元函数积分学107第八章无穷级数（数一和数三）129第一章函数、极限、连续本章考试内容与要求：考试内容函数的概念及表示法　函数的有界性(有界和收敛的关系存在正数M使f(x)

2、义域值域之间关系)25、反函数(函数必须严格单调，则存在单调性相同的反函数且与其原函数关于y=x对称)、分段函数和隐函数　基本初等函数的性质及其图形　初等函数　函数关系的建立(应用题)数列极限(转化为函数极限单调有界定积分夹逼定理)与函数极限(四则变换无穷小代换积分中值定理洛必塔法则泰勒公式-要齐次展开)的定义及其性质(局部保号性)　函数的左极限与右极限(注意正负号)　无穷小(以零为极限)和无穷大(大于任意正数)的概念及其关系　无穷小的性质(和性质积性质)及无穷小的比较(求导定阶)　极限的四则运算(要在各自

3、极限存在的条件下)　极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则　两个重要极限:函数连续的概念(点极限存在且等于函数值)　函数间断点的类型(第一型(有定义)：可去型，跳跃型第二型(无定义)：无穷型，振荡型)　初等函数的连续性　闭区间上连续函数的性质(零点定理介值定理)考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 　　3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 　　4.　掌握基本初等函数的性质及其图形，

4、了解初等函数的概念.　　5.　理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．　　6．掌握极限的性质及四则运算法则　　7． 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．　　8． 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．　　9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．　　10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）

5、，并会应用这些性质． 　　25§1.1函数(甲)内容要点一、函数的概念1．函数的定义2．分段函数3．反函数4．隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1)(2)2．用变上、下限积分表示的函数(1)其中连续，则(2)其中可导，连续，则五、函数的几种性质1．有界性：设函数在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称在X上是有界的。2．奇偶性：设区间X关于原点对称，若对，都有，则称在X上是奇函数。若对，都有，则称在X上是偶函数，奇函数的图象关

6、于原点对称；偶函数图象关于轴对称。3．单调性：设在X上有定义，若对任意，都有则称在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意，都有，则称在X上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）251．周期性：设在X上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称T为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。(乙)典型例题一、定义域与值域例1设的定义域为（）求的定义域解：要求，则，当时，，，则当时，，也即或例2求并求

7、它的反函数。解：，，，，，，，，，所以的值域为反函数二、求复合函数有关表达式例1设，求25解：，若，则根据数学归纳法可知，对正整数，例2已知，且，求解：令，，因此，，∴三、有关四种性质例1设，则下列结论正确的是[]（A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数例2求解是奇函数，是奇函数，因此是奇函数25于是例3设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是[]（A）（B）（C）（D）思考题：两个周期函数之和是否为周期函数四、函数

8、方程例1．设在上可导，，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。例2设满足，求解：令，则，，，……，各式相加，得，∴25因此，于是或（k为整数）思考题设均为常数，求方程的一个解。五、历年考研真题考点一函数的特性1、（90年数三）设函数则是（）A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数分析：由于，而，由极限的四则运算知原函数的无界函数2、（05数一）设是连续函数的一个原函数，则必有（）A是偶函数是奇