浅析椭圆几种题型

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1、浅析椭圆几种题型―引言在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。二椭圆的知识（一）、定义1平面内与与定点F1、F2的距离之和等于定长2a(2a>

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆，其中F1、F2称为椭圆的焦点，

4、F1F2

5、称为焦距。其复数形式的方程为

6、Z-Z1

7、+

8、Z-Z2

9、=2a(2a>

10、Z1-Z2

11、)2一动点到一个定点F的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个

12、动点的轨迹叫椭圆，其中F称为椭圆的焦点，l称为椭圆的准线。（二）、方程1中心在原点，焦点在x轴上：2中心在原点，焦点在y轴上：3参数方程：4一般方程：（三）、性质1顶点：或2对称性：关于，轴均对称，关于原点中心对称。3离心率：4准线5焦半径：设为上一点，F1、F2为左、右焦点，则，；设为上一点，F1、F2为下、上焦点，则，。三椭圆题型（一）、利用定义解题关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。例(1)：点P为为椭圆上一点，F1、F2

13、是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。解：(1)设，则。由椭圆第二定义知：。∴。当时，取最大值，此时点P(0,±b)；当时，取最小值b2，此时点P(±a，0)。（二）、直线与椭圆相交问题(1)常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。例(1)已知直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。解：由得。方法一：由弦长公式方法二：（三）、“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过

14、定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(x1,y1)B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设为AB的中点。两式相减，3.得出注：一般的，对椭圆上弦及中点，，有例：已知椭圆：(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程解：设弦的两端点分别为，的中点为，则，两式相减并整理可得①将代入式①，得所求的轨迹方程为(在椭圆内部分)（四）、轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动

15、点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例：的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程：解：设，由题设得。化简得（五）典型例题1．已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（

16、I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。(06年福建)解(1)∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.∵圆过点O、F.∴圆心M在直线x=-设M(-),则圆半径r=

17、(-)-(-2)

18、=.由

19、OM

20、=r,得解得t=±,∴所求圆的方程为(x+)2+(y±)2=.(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.∵直线AB过椭圆的左焦

21、点F,∴方程有两个不等实根.记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1+x1=-x0=AB垂直平分线NG的方程为令y=0，得∵∴点G横坐标的取值范围为（）。2．已知一列椭圆Cn:x2+=1.0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（Ⅰ）试证：bn≤(n≥1);（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3(n≥3).（06年重庆）图(２２)图

22、证：（1）由题设及椭圆的几何性质有　　　　设因此，由题意应满足即即,从而对任意（Ⅱ）设点得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.现在由题设取是增数列.又易知　　　故由前已证，知3．在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B