高考-椭圆几种题型

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1、-高考椭圆几种题型―引言在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。二椭圆的知识（一）、定义1平面内与与定点F1、F2的距离之和等于定长2a(2a>

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆，其中F1、F2称为椭圆的焦点，

4、F1F2

5、称为焦距。其复数形式的方程为

6、Z-Z1

7、+

8、Z-Z2

9、=2a(2a>

10、Z1-Z2

11、)2一动点到一个定点F的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其中F称为椭圆的

12、焦点，l称为椭圆的准线。（二）、方程1中心在原点，焦点在x轴上：2中心在原点，焦点在y轴上：3参数方程：4一般方程：（三）、性质1顶点：或2对称性：关于，轴均对称，关于原点中心对称。3离心率：4准线5焦半径：设为上一点，F1、F2为左、右焦点，则，；设为上一点，F1、F2为下、上焦点，则，。----三椭圆题型（一）椭圆定义1.椭圆定义的应用例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆

13、的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2已知椭圆的离心率，求的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．例3已知方程表示椭圆，求的取值范围．解：由得，且．∴满足条件的的取值范围是，且．说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．----出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时

14、，并不表示椭圆．例3已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．因此且从而．说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在轴上，知，．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件例5已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4

15、，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。例(1)：点P为为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。解：(1)设，则。由椭圆第二定义知：。∴。当时，取最大值，此时点P(0,±b)；当时，取最小值b2，此时点P(±a，0)。----（二).焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，

16、，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．①由椭圆定义知：②，则得．故．----例2.　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．　求的最大值、最小值及对应的点坐标；分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

17、解：如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．建立、的直线方程，解方程组得两交点、．综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．----（三）、直线与椭圆相交问题(1)常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。例1.已知直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。解：由得。方法一：由弦长公式方法二：例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦

18、点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余