第十八章动态优化模型

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1、第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。§1变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。1.1变分法的基本概念1.1.1泛函设为一函数集合，若对于每一个函数有一个实数与之对应，则称是对应在上的泛函，记作。称为的容许函数集。

2、通俗地说，泛函就是“函数的函数”。例如对于平面上过定点和的每一条光滑曲线，绕轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线的泛函。由微积分知识不难写出（1）容许函数集可表示为（2）最简单的一类泛函表为（3）被积函数包含自变量，未知函数及导数。（1）式是最简泛函。1.1.2泛函的极值泛函在取得极小值是指，对于任意一个与接近的，都有。所谓接近，可以用距离来度量，而距离定义为泛函的极大值可以类似地定义。称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数在的增量记为也称

3、函数的变分。由它引起的泛函的增量记作如果可以表为-229-其中为的线性项，而是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作。用变动的代替，就有。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数：（4）这是因为当变分存在时，增量根据和的性质有所以1.1.4极值与变分利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：若在达到极值（极大或极小），则（5）这是因为对任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到极值。根据函数极值的必要条件知于是由（4）式直接得到（5）式。1.1.5.变分法的基本引理引理，，，有，则。1.2无约束条件的泛函极值求泛函（6）的极值，一般

4、是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线，使给定的二阶连续可微函数沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为。1.2.1端点固定的情况设容许曲线满足边界条件，-229-（7）且二次可微。首先计算（6）式的变分：（8）对上式右端第二项做分布积分，并利用，有，再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有因为的任意性，及，所以由基本引理得到著名的欧拉方程（9）它是这类最简泛函取极值的必要条件。（9）式又可记作（10）通常这是的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确定。1.2.2最简泛函的几种特殊情形(i)

5、不依赖于，即这时，欧拉方程为，这个方程以隐函数形式给出，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。(ii)不依赖，即欧拉方程为将上式积分一次，便得首次积分，由此可求出，积分后得到可能的极值曲线族(iii)只依赖于，即这时，欧拉方程为由此可设或，如果，则得到含有两个参数的直线族-229-。另外若有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数的直线族，它包含于上面含有两个参数的直线族中，于是，在情况下，极值曲线必然是直线族。（iv）只依赖于和，即这时有，故欧拉方程为此方程具有首次积分为事实上，注意到不依赖于，于是有。例1(最速降线

6、问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J.Bernoulli）于1696年提出的。问题的提法是这样的：设和是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结和的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从滑行至时，使所需时间最短。解将点取为坐标原点，轴水平向右，轴垂直向下，点为。根据能量守恒定律，质点在曲线上任一点处的速度满足（为弧长）将代入上式得于是质点滑行时间应表为的泛函端点条件为最速降线满足欧拉方程，因为不含自变量，所以方程（10）可写作等价于作一次积分得-229-令则方程化为又因积分之

7、，得由边界条件，可知，故得这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数可利用另一边界条件来确定。例2最小旋转面问题解因不包含，故有首次积分化简得令，代入上式，由于积分之，得消去，就得到。这是悬链线方程。1.2.3最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。（ⅰ）含多个函数的泛函-229-使泛函取极值且满足固定边界条件的极值曲线必满足欧拉方程组（ii）含高阶导数的泛函使泛函取极值且满足固定边界条件,的极值曲线必满足微分方程（iii）含多元函数的泛函设，使泛函取极值且在区域的边界线上取已知值的极值函数必满足方程上式称为奥式方程。1.2.4

8、端点变动的情况（横截条件）设容许曲线在固定，在另一端点时不固定，是沿着给定的曲线上变动。于是端点条件表示为这里是变动的，不妨用参数形式表示为寻找端点变动情况的必要条