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1、第十二章动态优化模型12.1速降线与短程线12.2生产计划的制订12.3国民收入的增长12.4渔船出海12.5赛跑的速度12.6多阶段最优生产计划连续动态过程的优化归结为求泛函的极值.求泛函极值的常用方法:变分法,最优控制论.离散动态过程的优化~动态规划模型.静态优化问题优化目标是数值最优策略是数值函数对应的数值称为泛函(函数的函数).动态优化问题优化目标是数值最优策略是函数12.1速降线与短程线通过两个古典问题介绍变分法的基本概念,给出主要结果.速降线问题给定竖直平面内不在一条垂直线上的两个点A,B,求连接A,B的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A滑到B(摩擦力不计)
2、..A.B直线AB虽短,但速度增长慢;若沿陡峭曲线下滑,虽路径加长，但速度增长很快.速降线问题.A.B建立坐标系xoy,xyy=y(x)o曲线弧长能量守恒质点在曲线y(x)上的速度ds/dt质点沿曲线y(x)从A到B的时间求y(x)使J(y(x))达到最小.m~质点质量，g~重力加速度A(0,0),B(x1,y1),曲线AB~y=y(x)满足条件短程线问题.A.Bxyzo给定曲面上的两个点A,B,求曲面上连接A,B的最短曲线.建立坐标系A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)曲线的弧长曲线的长度求y=y(x),z=z(x)使J(y(x),z(x))达到最小.满足条件曲面方程f(x
3、,y,z)=0f(x,y,z)=0曲面上连接A,B的曲线y=y(x),z=z(x)y=y(x)z=z(x)泛函、泛函的变分和极值自变量t，函数x(t),y(t)函数、函数的微分和极值泛函、泛函的变分和极值1.对于t在某域的任一个值,有y的一个值与之对应,称y是t的函数，记作y=f(t)1.对于某函数集合的每一个函数x(t),有J的一个值与之对应,称J是x(t)的泛函,记作J(x(t))2.t在t0的增量记作t=t-t0,微分dt=t2.x(t)在x0(t)的增量记作x(t)=x(t)-x0(t)，x(t)称x(t)的变分3.y在t0的增量记作f=f(t0+t)-f(t0)，
4、f的线性主部是函数的微分,记作dy，dy=f(t0)dt3.泛函J(x(t))在x0(t)的增量记作J=J(x0(t)+x(t))-J(x0(t)),J的线性主部称泛函的变分,记作J(x0(t))泛函、泛函的变分和极值函数、函数的微分和极值泛函、泛函的变分和极值4.若函数y在域内t点达到极值，则在t点的微分dy(t)=04.若泛函J(x(t))在函数集合内的x(t)达到极值,则在x(t)的变分J(x(t))=05.y在t的微分的另一表达式5.泛函J(x(t))在x(t)的变分可以表为泛函J(x(t))在x(t)达到极值的必要条件欧拉方程(最简泛函极值的必要条件)最简泛函F
5、具有二阶连续偏导数，x(t)为二阶可微函数固定端点条件下的泛函J(x(t))在x(t)达到极值的必要条件:x(t)满足二阶微分方程两个任意常数由确定欧拉方程用欧拉方程解速降线问题求y(x)使达到最小,且欧拉方程圆滚线方程c2=0,c1由y(x1)=y1确定.横截条件(变动端点问题)容许函数x(t)的一个端点固定:x(t1)=x1;另一个端点在给定曲线x=(t)上变动:x(t2)=(t2)(t2可变).x(t).A.Bx=(t)txot2欧拉方程在变动端点的定解条件x=(t)垂直于横轴(t2固定)x=(t)平行于横轴包含多个未知函数泛函的欧拉方程欧拉方程泛函的条件极值求u(t)
6、U(容许集合)使J(u(t))在条件下达到极值,且x(t)X(容许集合)最优控制问题:u(t)~控制函数,x(t)~状态函数(轨线).泛函的条件极值用拉格朗日乘子化为无条件极值欧拉方程由方程组和端点条件解出最优控制u(t)和最优轨线x(t).Hamilton函数12.2生产计划的制订问题生产任务是在一定时间内提供一定数量的产品.生产费用随着生产率(单位时间的产量)的增加而变大.贮存费用随着已经生产出来的产量的增加而变大.生产计划用每一时刻的累积产量表示.建模目的寻求最优生产计划,使完成生产任务所需的总费用(生产费用与贮存费用之和)最小.分析与假设生产任务:t=0开始生产,t=T提供
7、数量为Q的产品.生产计划(累积产量):x(t)生产率(单位时间产量):生产费用贮存费用总费用生产率提高一个单位的生产费用与生产率成正比贮存费用与贮存量成正比模型与求解求x(t)(0,0tT)使C(x(t))最小.欧拉方程考察x(t)0(0tT)的条件txQT0只有当生产任务Q足够大时才需要从t=0开始生产.若怎么办??模型解释最优生产计划满足方程~边际成本生产费用贮存费用~边际贮存最优生产计划在边际成本的变化率等于边际贮存时达到.生
