高中数学-椭圆-知识题型总结

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1、陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义　　平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.　　注意：若，则动点的轨迹为线段；　　　　　若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是知识点二：椭圆的标准方程　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；　　2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；　　注意：　　1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2、　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；　　3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆的焦距为，则=。2．椭圆的一个焦点是，那么。知识点三：椭圆的简单几何性质　　椭圆的的简单几何性质　　（1）对称性　　对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围　　椭圆上所有的点都

3、位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足

4、x

5、≤a，

6、y

7、≤b。（3）顶点　　①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。　　②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），　　　A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。　　③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，

8、A1A2

9、=2a，

10、B1B2

11、=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长　　　和短半轴长。（4）离心率　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。　　②因为a＞c＞0

12、，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因　　　此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当　　　a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：　　　　　　　　（1），，；　　（2），，；　　（3）,，；知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，（

13、a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用定理yF1OF2xPP在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则.证明：记，由椭圆的第一定义得在△中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.典题妙解例1若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在△中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，，而解法一

14、复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（）A.B.C.D.解：设，则，故选答案A.练习6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且，△的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.参考答案6．解：设，.，.又，即.或.当时，，这时椭圆的标准方程为；当时，，这时椭圆的标准方程为；但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为.题型二中点弦问题点差法中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”

15、求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线方程？例3.弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一法二点差法1.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆

16、锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程