2006年全国高中数学联合竞赛

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1、2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知△ABC，若对任意，，则△ABC一定为A．锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定【答】（C）【解】令，过A作

2、于D。由，推出　,令，代入上式，得，即,也即。从而有。由此可得。2.设，则的取值范围为A．B．C．　D．【答】（B）【解】因为，解得.由解得；或解得，所以的取值范围为.3.已知集合，,，且，则整数对的个数为A.20B.25C.30D.42【答】（C）【解】　；。要使，则-12-，即。所以数对共有。4.在直三棱柱中，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为A.B.C.D.【答】（A）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，

3、，（）。所以，。因为，所以，由此推出。又，，从而有。5.设，则对任意实数，是的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答】（A）【解】显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出，即。6.数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为A．B．C．D．【答】（B）【解】出现奇数个9的十进制数个数有。又由于以及，从而得。一、填空题（本题满分54分，每小题9分）-12-7.设，则的值域是。【解】　。令，则。因此。即得。　　　　　　　　　　　　　　　　8.若对一切R

4、，复数的模不超过2，则实数的取值范围为.【解】依题意，得（）（对任意实数成立）.故的取值范围为。9.已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上.当取最大值时，比的值为.【解】由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即（1）又由圆幂定理，（2）而，，A，从而有，。代入（1），（2）得。10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为-12-cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.【解】设四个实心

5、铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水＝。　　　　　11.方程的实数解的个数为1.【解】要使等号成立，必须　，即。但是时，不满足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为1。12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为0.0434.【解】第4次恰好取完所有红球的概率为=0.0434.三.解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数，设是抛物线与直线的一个交点.试证明

6、对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.【证明】因为与的交点为.显然有。…（5分）若为抛物线与直线的一个交点，则.…（10分）记，则，　　　　（13.1）-12-由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数.现在对于任意正整数，取，使得与的交点为.…………………（20分）14.将2006表示成5个正整数之和.记.问：（1）当取何值时，S取到最大值；（2）进一步地，对任意有，当取何值时，S取到最小值.说明理由.【解】（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最

7、小值。若,且使取到最大值，则必有………（5分）(*)事实上，假设（*）不成立，不妨假设。则令，,()有，。将S改写成同时有。于是有。这与S在时取到最大值矛盾。所以必有.因此当取到最大值。……………………（10分）（2）当且时，只有（I）402，402，402，400，400；（II）402，402，401，401，400；（III）402，401，401，401，401；三种情形满足要求。……………………（15分）而后面两种情形是在第一组情形下作，-12-调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大。所以在

8、情形取到最小值。……………………（20分）15.设.记，，.证明：.【证明】（１）如果，则，。………………………（5分）（２）如果，由题意，,.则①当时，（）.事实上，当时，,设时成立（为某整数），则对，.②当时，（）.事实上，当时，,设时成立（为某整数），则对，有.注意到当时,总有，即.