2004年全国高中数学联合竞赛试题

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1、2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)第一试时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角使关于x的方程有重根，则的弧度数为（）A.B.C.D.2、已知。若对所有，则b的取值范围是（）A.B.C.D.3、不等式的解集为（）A.B.C.D.4、设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为（）A.2B.C.3D.5、设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A.45个B.81个C.165个D.216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底

2、面圆的圆心，，垂足为B，，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）A.B.C.D.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是________________。8、设函数，且对任意，则=_____________________。9、如图、正方体中，二面角的度数是____________。10、设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=____________。11、已知数列满足关系式，则的值是____

3、_____________________。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为___________________。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）14、在平面直角坐标系x

4、oy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。15、已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为。（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：对于，若。二○○四年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷

5、时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程有重根，故得，于是。故选B。2、解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。故选A。3、解：原不等式等价于设解得。即。故选C。4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则由（1）（2）得，，即共线，且，故选C。5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个

6、不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。综上，。6、解：。C是PA中点，最大，也即最大。此时，，故选D。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。8、解：∴=即。9、解：连结

7、，垂足为E，延长CE交于F，则，连结AE，由对称性知是二面角的平面角。连结AC，设AB=1，则中，，在的补角，。10、解：设，从而是平方数，设为。（负值舍去）11、解：设即故数列是公比为2的等比数列，。。12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得a=1或a=－7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半

8、径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题