方程思想及其课程教学设计

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1、方程思想及其课程教学设计摘要：准确把握方程思想是进行方程课程设计、教科书编写和教学实施的必要前提和重要基础。方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。方程思想的核心在于建模、化归。方程的学习，从一开始就应该让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题；而解方程的设计要点在于再现化归的思想方法。关键词：方程；数学思想；课程设计；教学设计随着教育改革的不断深入，与中小学数学中的大部分内容一样，人们对方程思想的认识也在悄悄地发生着变化。一些参与数学新课

2、程设计、课程标准实验教科书编写的专业人员，教学一线上从事数学课程实施的广大教师、教研员，甚至专门从事中小学数学教育研究的高校教学研究人员，对方程思想的模糊认识、困惑甚至迷茫，或多或少地阻碍了数学课程改革的进程。为此，东北师范大学从事数学教育研究的人员，在数学教育博士生导师、校长史宁中教授的带领下，通过专题访谈、研讨班、座谈会等多种形式，对包括方程思想在内的中小学数学课程改革中的一系列重大的热点问题进行了系列研究。本文就是史宁中教授系列访谈录中的第一篇。访谈形式：专题访谈，三人对话，并辅以资料查询。访谈的核心问题：方程的教育价值主要体现在哪些方面？方

3、程思想的核心到底是什么？学生为什么必须学习方程（方程的学习对后续内容有哪些影响）？对中国中小学数学课程、教学来说，方程课程教材设计的重点应放在哪些方面？一、方程思想的本质△问：史教授，方程长期以来一直是中小学数学中的一项重要内容。您能不能谈一谈方程思想的核心到底是什么？学生为什么必须学习方程？▲史教授：方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：（1）建模思想；（2）化归思想，如在中小学数学中，三元一次方程可以化归为二元一次方程，二元一次方程可以化归为一元一次方程，一元一次方程最终化归为x=a的形式。虽然大学《高等代数》中有方程的矩阵解法，但是，对中小

4、学生来说，用这种解法解二元一次方程、三元一次方程是不可取的。事实上，矩阵解法涉及的因素太多，不符合这个年龄段儿童的特点。对初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面：一方面是建模，另一方面是会解方程。对于后者来说，解方程的关键在于转化，即将新的问题化归为以前可以解决的问题，利用以前的算法解决。这种化归、迭代的思想正是当代计算机的思想。长期以来，中小学数学教育界一直存在这样的观点：一元一次方程比小学四则算术进步，但两者没有本质的不同。其实不然，两者有本质的区别：小学四则运算仅仅提供一种算法，而一元一次方程则比较全面地展示了建模思想──用等号将

5、相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。这就是数学建模的本质表现之一。方程一般有两种情况出现，一种是仅出现未知数，另一种是既出现未知数，也出现未知的系数。在目前的初中数学中，只存在含未知数的方程这样一种情况，没有含未知系数的方程。但是，在经济数学和现实应用中，将出现大量含有可以变动系数的方程。在初中数学中，解一元一次方程，只需要将含有未知数的项放到方程的一边，将不含未知数的项放到方程的另一边，就可以解出未知数的值，这是解方程的核心

6、工作。而解的具体过程就要用到四则运算。为此，在进行解一元一次方程的课程设计、教材编写、教学实施时，必须突出化归这个重点，至于合并同类项、通分等问题，虽然是代数式的重点内容，但不是这里的重点。否则，就会陷入繁琐运算的误区。从这个意义上讲，一元一次方程课程的重点就是让学生掌握“建模”思想，学会“化归”方法，其中，前者是列一元一次方程的重点，后者是解一元一次方程的重点。对二元一次方程来说，也有类似的解释。不同的是，在用等号联立两个相互等价的事情时，涉及两个未知量。对二元一次方程组来说，是两个等价关系，每个等价关系涉及两件相互等价的事件，而这两个等价关系依

7、靠相同的未知数关联在一起。从表面上看，这里似乎出现了两件事情，事实上却是同一件事情，是在同一个描述过程中，对同一组事物的不同角度、不同方面的刻画和写照。在解二元一次方程组时，只要把未知数看成已知数，将其中的一个未知数用另一个替代，转化为一元一次方程就可以了。所以，解二元一次方程组的要害在于：通过替代等手段，将二元一次方程组转化为一元一次方程。对于三元一次方程（组）问题，同样也是如此，只需要通过替代等手段，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程即可。二、方程思想的含义及典型观点辨析△问：《标准》[1]中关于方程思想阐述了这样一个

8、基本观点（刘坚在许多不同场合提到这个说法）：（1）方程是刻画现实世界的有效模型；（2）方程没有一般解法；（3）特殊方程用特