解析几何解题方法集锦

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1、解析几何解题方法集锦俗话说：“知己知彼，才能百战百胜”，这一策略，同样可以用于高考复习之中。我们不仅要不断研究教学大纲、考试说明和教材，而且还必须研究历年高考试题，从中寻找规律，这样才有可能以不变应万变，才有可能在高考中取得优异成绩。纵观近几年的高考解析几何试题，可以发现有这样的规律：小题灵活，大题稳定。一、解决解析几何问题的几条原则1．重视“数形结合”的数学思想2．注重平面几何的知识的应用3．突出圆锥曲线定义的作用二、解析几何中的一类重要问题直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟

2、悉直线与三种圆锥曲线的位置关系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。弦长问题：

3、AB

4、=。弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。三、高考解析几何解答题的类型与解决策略Ⅰ.求曲线的方程1．曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。例1已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=

5、kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p精品教育文档，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.例2在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给MONxPy定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程

6、简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。MNQO2．曲线的形状未知-----求轨迹方程例3已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与

7、MQ

8、的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：OAxBCP={M

9、

10、MN

11、=

12、MQ

13、}，由平面几何知识可知：

14、MN

15、2=

16、MO

17、2-

18、ON

19、2=

20、MO

21、2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时

22、它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。例4给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.精品教育文档由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0若，y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0

23、足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x1时，方程表示双曲线一支的弧。一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。例5已知椭圆和直线L:，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足

24、OQ

25、

26、OP

27、=

28、OR

29、2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。分析：设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR),则，代入，得：(x-1)2+(y-1)2=1.注意：若将点P、Q、R分别投影到

30、x轴上，则式子可用

31、x

32、

33、xP

34、=

35、xR2

36、代替，这样就简单多了。Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题1．有关最值问题例6设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，已知点P（0，精品教育文档）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为，则由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:

37、PQ

38、==(-byb).若b<，则-<-b,当y=-b时

39、PQ

40、max=.

41、解得：b=->与b<矛盾；若b，则当y=-时

42、PQ

43、max=,解得:b=1,a=2.2．有关范围问题例7已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0