高等数学第六版(同济大学)上册课后习题集答案

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1、高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11.设A=(-¥,-5)È(5,+¥),B=[-10,3),写出AÈB,AÇB,AB及A(AB)的表达式.解AÈB=(-¥,3)È(5,+¥),AÇB=[-10,-5),AB=(-¥,-10)È(5,+¥),A(AB)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AÇB)C=ACÈBC.证明因为xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛxÏA或xÏBÛxÎAC或xÎBCÛxÎACÈBC,所以(AÇB)C=ACÈBC.3.设映射f:X®Y,AÌX,BÌX.证明(1)f(AÈB)=f(A)Èf(B);(2)f

2、(AÇB)Ìf(A)Çf(B).证明因为yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB,使f(x)=yÛ(因为xÎA或xÎB)yÎf(A)或yÎf(B)ÛyÎf(A)Èf(B),所以f(AÈB)=f(A)Èf(B).(2)因为yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB,使f(x)=yÛ(因为xÎA且xÎB)yÎf(A)且yÎf(B)ÞyÎf(A)Çf(B),所以f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).4.设映射f:X®Y,若存在一个映射g:Y®X,使,,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xÎX,有IXx=x;对于每一个yÎY,有IYy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f-1.证

3、明因为对于任意的yÎY,有x=g(y)ÎX,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1¹x2,必有f(x1)¹f(x2),否则若f(x1)=f(x2)Þg[f(x1)]=g[f(x2)]Þx1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:Y®X,因为对每个yÎY,有g(y)=xÎX,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:X®Y,AÌX.证明:(1)f-1(f(A))ÉA;(2)当f是单射时,有f-1(f(A))=A.证明(1)因为xÎA

4、Þf(x)=yÎf(A)Þf-1(y)=xÎf-1(f(A)),所以f-1(f(A))ÉA.(2)由(1)知f-1(f(A))ÉA.另一方面,对于任意的xÎf-1(f(A))Þ存在yÎf(A),使f-1(y)=xÞf(x)=y.因为yÎf(A)且f是单射,所以xÎA.这就证明了f-1(f(A))ÌA.因此f-1(f(A))=A.6.求下列函数的自然定义域:(1);解由3x+2³0得.函数的定义域为.(2);解由1-x2¹0得x¹±1.函数的定义域为(-¥,-1)È(-1,1)È(1,+¥).(3);解由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=[-1,0)È(0,1].(4)

5、;解由4-x2>0得

6、x

7、<2.函数的定义域为(-2,2).(5);解由x³0得函数的定义D=[0,+¥).(6)y=tan(x+1);解由(k=0,±1,±2,×××)得函数的定义域为(k=0,±1,±2,×××).(7)y=arcsin(x-3);解由

8、x-3

9、£1得函数的定义域D=[2,4].(8);解由3-x³0且x¹0得函数的定义域D=(-¥,0)È(0,3).(9)y=ln(x+1);解由x+1>0得函数的定义域D=(-1,+¥).(10).解由x¹0得函数的定义域D=(-¥,0)È(0,+¥).7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f

10、(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=;(3),.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设,求,,,j(-2),并作出函数y=j(x)的图形.解,,,.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1),(-¥,1);(2)y=x+lnx,(0,+¥).证明(1)对于任意的x1,x2Î(-¥,1),有1-x1>0,1-x2>0.因为当x1

11、内是单调增加的.(2)对于任意的x1,x2Î(0,+¥),当x1-x2.因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以f(-x2)f(x1),这就证明了对于"x1,x2Î(-l,0),有f(x1