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1、.页眉.高等数学上册课后答案,同济大学第六版高等数学上册课后答案 习题8-1 1.设有1个面薄板(不计其厚度)，占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为μ=μ(x,y)的电荷，且μ(x,y)在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q. 解用一组曲线将D分成n个小闭区域Δσi，其面积也记为Δσi(i=1,2,??,n).任取一点 (ξi,ηi)∈Δσi,则Δσi上分布的电量ΔQ≈μ(ξi,ηi)Δσi.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为 Q=lim∑μ(ξi,ηi)Δσi=∫∫μ(x,y)dσ, λ→0
2、i=1 D n 其中λ=max{Δσi的直径}. 1≤i≤n 2.设I1=∫∫(x2+y2)3dσ其中D1={(x,y)?1≤x≤1,?2≤y≤2};又I2=∫∫(x2+y2)3dσ D1 D2 其中D2={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系.页脚..页眉. 顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Ω1的解由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1、 体积;I2表示底为D2、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Ω2的体积.由于位于D1上方的曲面z=(x2+y2)3关于
3、yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将Ω1分成4个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为Ω2.由此可知I1=4I2. 3.利用二重积分定义证明：(1)∫∫dσ=σ D (其中σ为D的面积); (其中k为常数); 1 2 (2)(∫∫kfx,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ D D (3) ∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ,其中D=D∪D D D1 D2 ，D1、D2为2个无公共 内点的闭区域.页脚..页眉. 证(1)由于被积函数f(x,y)≡1，故由二重积分定
4、义得 ∑f(ξ,η)Δσ∫∫dσ=limλ D →0 i i i=1 n n i =lim∑Δσi=limσ=σ. λ→0 i=1 n λ→0 (2)∫∫kf(x,y)dσ=lim∑kf(ξi,ηi)Δσi=klim∑f(ξi,ηi)Δσi=k∫∫f(x,y)dσ. D n λ→0 i=1 λ→0 i=1页脚..页眉. D (3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。这样f(x,y)在
5、 D1∪D2上的积分和就等于D1上的积分和加D2上的积分和，记为 D1∪D2 ∑f(ξi,ηi)Δσi=∑f(ξi,ηi)Δσi+∑f(ξi,ηi)Δσi. D1 D2 令所有Δσi的直径的最大值λ→0，上式两端同时取极限，即得 D1∪D2 ∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ. D1 D2 4.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1)∫∫(x+y)2dσ与∫∫(x+y)3dσ，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所 D D 围成; (2)成; ∫∫(x+y)
6、dσ与∫∫(x+y)dσ，其中积分区域D是由圆周(x?2) D页脚..页眉. D 232 +(y?1)2=2所围 (3) ∫∫ln(x+y)dσ D 与 ∫∫[ln(x+y)]dσ D 2 ，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为 (1,0),(1,1),(2,0); (4)∫∫ln(x+y)dσ与∫∫[ln(x+y)]2dσ，其中D={(x,y)3≤x≤5,0≤y≤1}. D D 解(1)在积分区域D上，0≤x+y≤1，故有(x+y)3≤(x+y)2，根据二重积分的性质4，可得∫∫(x+y)3dσ≤∫∫
7、(x+y)2dσ. D D 故在D上有(x+y)2≤(x+y)3.从(2)由于积分区域D位于半平面{(x,y)
8、x+y≥1}内，而∫∫(x+y)2dσ≤∫∫(x+y)3dσ. D页脚..页眉. D (3)由于积分区域D位于条形区域{(x,y)
9、1≤x+y≤2}内，故知D上的点满足0≤ln(x+y)≤1，从而有[ln(x+y)]2≤ln(x+y).因此∫∫[ln(x+y)]2dσ≤∫∫ln(x+y)dσ. D D (4)由于积分区域D位于半平面{(x,y)
10、x+y≥e}内，故在D上有ln(x+y)≥1，从而有[ln(x
11、+y)]2≥ln(x+y).因此∫∫[ln(x+y)]2dσ≥∫∫ln(x+y)dσ. D D 5.利用二重积分的性质估计下列积分的值： (1)I=∫∫xy(x+y)dσ其中D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1
