确定性存储问题数学模型

《确定性存储问题数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节确定性存储问题数学模型对于工厂来说，任务是把进来的原料加工成产品，并把它销售出去。要生产就要库存一定量的原材料，要销售也需要库存一定量的产品。库存材料和产品就有存储费的问题，而需求又有确定型和随机型等情况。如何确定一个最优的生产周期，使得在单位时间内所花费的生产费用最少。这是摆在工厂管理者面前的现实问题。我们这节讨论确定性需求存储问题的数学建模。一、仓库只库存产品的简单情况记k为工厂生产线运转时产品的生产速率，r为商品的销售速率，Q为库存量。仓库的库存以这样的方式变化：开始时边生产边销售，库存量以速率k－

2、r增加，到时刻t只销售不生产，Q以速率r减少，而到时刻T，Q减少到零，如此为一个周期。Q与t的关系如图2.3.1所示。再记c为每开动一次生产线的成本，s为单位时间Q每件产品的存储费，W为单P位时间总费用。则问题可做如下描述：确定周期T，使单位时间的总费用W最小。OtT图2.3.1库存量Q与时间t关系图（情况1）我们作如下分析：由假设条件知，单位时间成本为c/T，单位时间库存费为sA/T，其中A为三角形OPT的面积，即又有kt=rT,所以单位时间总费用为记则(2.3.1)为求最小总费用点，令=0,得－c/T2+B

3、=0从而有Tmin=(2.3.2)代入式(2.3.1)得min=(2.3.3)式(2.3.2)表明，最优周期与生产成本的平方根成正比，与存储费的平方根成反比。这样一个结论是经过建立数学模型并进行分析计算才得出来的。计算出来的这个最优f(a)周期T往往不易在实际生产过程中操作实施，这就需要作一点微调（或者说做一点摄动），那么会对W产生多大的影响呢？我O1－ee1＋ea们简单分析一下这种敏感性。图2.3.2摄动函数¦(a)的图象设T被aT代替，这里a=1＋e,或者a=1－e（e>0）,考虑哪一种变动较好一点。由式(

4、2.3.1)和式(2.3.2)，有从而=作函数¦(a)的图象如图2.3.2所示。从图中可见，摄动a=1＋e比摄动a=1－e对最优值min的影响要小一些。故应该对Tmin作(1＋e)Tmin的调整。二、仓库既存放产品，也存放原料的情况设将一个周期生产所需要的原料一次备足，即t=0时仓库要存放能生产kt件产品的Q原料，参见图2.3.3,记单kt原料商品位时间每件原料存储费为S¢,单位时间原料存储费就A¢应为S¢A¢/T，其中，A¢=kt·t/2=kt2/2,OtTt从而，单位时间总费用应为图2.3.3库存量Q与时间

5、t关系图（情况2）W¢=令B¢=则W¢=与前类似，通过求导数并令其为零，得T¢min=三、一次备足P个周期生产所需原料的情况此种情况下，在t=0时，仓库应存入N=pkt=prT件产品所需原料。则原料存储量的变化情况如图2.3.4所示。P个周期中原料总存储量是图2.3.4中台阶状图形的面积A¢。A¢是以NQNA¢tOtTT＋t2T(p－1)T(p－1)T＋t图5.2.4库存量Q与时间t关系图（情况3）为高，以（p－1）T＋t为底的矩形面积的一半。从而有（注：N=prTkt=rt）则单位时间原料存放费为此时，单位时

6、间总费用为当S>S¢时，记B1=，则最优周期有与情况2相类似的结果当S£S¢时，最好的策略是使T尽可能大，即p=1。也就是说，当单位时间每件原料存放费大于商品存放费时，最好只存一个周期的原料。四、成批到货，不允许缺货的模型所谓成批到货，不许缺货，就是每批产品或每次订购的货物整批存入仓库，由仓库均匀提取（假设需求是确定的）投入使用，当前一批库存提取完后，下一批货物立即补足，不允许缺货。这是因为，对某些工厂的实际来说，一旦缺货，造成停产，其损失是不可估量的。这种情况下，库存量Q变动情况如图2.3.5所示。QOTt图

7、2.3.5库存量Q示意图（情况4）假设周期初始时，原料库存应为Q=RT，一个周期内原料存储费用应该是c2与图5.2.5中三角形QOT的面积的乘积，即,则周期总费用为c1＋c2·从而，周期内平均单位时间费用为为求使W达到最小的T，令dW/dt=0，并注意到Q=RT,得Tmin=(2.3.4)Q=(2.3.5)式(2.3.4)是经济理论中著名的经济批量公式（Economicorderingquantity,简记为EOQ公式）。公式表明：定货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大；而存储费越高，则每次定货批量应越小

8、。这些都是复合实际情况的。这个结论与前面第一种情况下得到的结论是相似的。五、只存储原料，允许缺货在实际的存储问题中，有时因缺货造成的损失是有限的，这就可以根据实际情况建立允许缺货的存储问题数学模型，建立这个模型只需对上一个模型做如下修改。在前面已设条件基础上，在设每天每单位原料缺货费为c3,每次所订原料Q吨在t=T1时用完，有一段时间缺货，在t=T时得到补充。于是存储量Q如图2.3.6