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《平面向量在解析几何中的应用与求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、解析几何与向量8-----8平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：（一）、直线的方向向量：直线L的方向向量为=（a,b),则该直线的斜率为k=（二）、利用向量处理平行问题：对非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),∥的充要条件是：有且仅有一个实数l，使得=l；亦即∥(¹)的充要条件是⇔x1y2-x2y1=0；（三）、利用向量求角：设=(x1,y1),=(x2,y2),则两向量、的夹角：cosq=cos<,>==Þ其特殊情况即为垂直问题：对非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),⊥的充要条件是·=0⇔x1x2
2、-y1y2=0；（四）、利用向量求距离：设=(x,y),则有
3、
4、==；若则
5、
6、=二、典例分析：★【题1】、点P（-3,1）在椭圆的左准线上.过点P且方向为=(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:()（A）（B）(C)（D）●[解析]：如图,过点P（-3，1）的方向向量=(2,-5);所以；即;联立：，由光线反射的对称性知：所以，即;令y=0,得F1（-1，0）;综上所述得：c=1，;所以椭圆的离心率故选A。▲点拨：本题中光线所处直线的方向向量是=(2,-5)，则立即有直线的斜率为。★【题2】设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点
7、满足，则 ．●解：依据椭圆的第二定义则有：
8、PF
9、=6，再由第一定义则
10、PF′
11、=4；由于，由向量加法的平行四边形法则，则点M处于PF的中点处，故由中位线定理可知2。解析几何与向量8------88解析几何与向量8-----8▲点拨：本题中的向量条件，抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点M处于PF的中点位置。★【例题3】已知A,B为椭圆(a>b>0)和双曲线的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且有+=l(+)(l∈R,
12、l
13、>1),设AP,BP,AQ,BQ斜率分别为k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4为一个定值.●解、点A(-a,0)；
14、B(a,0)；∵由+=l(+),依据向量加法的平行四边形法则,则有O、Q、P三点共线；设P(x1,y1)、Q（x2，y2）,则-=1,则x12-a2=·y12；∴k1+k2=+==·；同样有k3+k4=·；由于=，∴所求的定值为0。▲点拨：本题中的向量条件:+=l(+)，通过向量加法的平行四边形法则,从而转化得出了O、Q、P三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论。★【例题4】(2007年全国高考Ⅱ·理科·12题)．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（）A．9B．6C．4D．3●解：抛物线的焦点F（1，0）设A、B、C三点的坐标分别为、、；则有=，=，=，∵；∴++=0；
15、∴x1+x2+x3=3,又由抛物线的定义可知x1+1+x2+1+x3+1=6，从而选（B)。▲点拨：本题中，向量条件；利用向量的坐标运算规律进行转化后可得x1+x2+x3=3,再由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为（B）。★【例题5】、（2004年全国高考）给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.●解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线L的斜率为1，所以L的方程为将代入方程，并整理得设则有解析几何与向量8------88解析几何与向量8-----8所以夹角的大小为（Ⅱ）由题
16、设得即……①又由于点F为抛物线的焦点，则有依据抛物线的定义有：x2+1=l(x1+1)……②；联立方程①和②可求得x1=；则点A（，±）[或求得点]；又F（1，0），则可得直线L的方程为：∴当时，l在方程y轴上的截距为由可知在[4，9]上是递减的，∴直线L在y轴上截距的变化范围为▲点拔：本题主要是将向量相等的条件，转化为向量坐标关系等式：即然后可以此去求出交点A的坐标数值，再往下进行转化推理，从而使问题得以解决。★【例题6】（2007年湖南高考理科20题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否
17、存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．●解：由条件知，，设，．（I）设，则，，，由得即当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以．．由①②③得解析几何与向量8------88解析几何与向量8-----8．…④；．…⑤；当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．（II）假设在轴上存在定点点，使为
