矩阵的非常规转置.doc

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1、矩阵的非常规转置江苏省常熟市尚湖高级中学孙丹215500TEL:13862337256QQ:355337256摘要本文从矩阵的常规转置（主转置），延拓到矩阵的非常规转置（次转置、行转置、列转置）。经过深入探讨，给出了它们的妙趣横生的颇有意义的一系列结论，并予以技巧各异的论证，其中以行转置和列转置二者的关系最为奇妙。此后又由常规的对称阵和反对称阵，给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及其相关结论。主题词次转置行转置列转置次对称阵反次对称阵一引言矩阵的转置（常规转置或主转置）是矩阵论的重要组成部分。笔者联想到矩阵的非常规转置（次转置、行转置、列转置

2、），给出它们的定义，并经过长期深入的研究与探讨，给出了它们的一系列妙趣横生的颇有意义的诸多结论。对其中显而易见者，我们免去其证明；有些我们则以例代证，以方便读者；对行、列均有的成套结论，我们仅对行证，因为对列同理；对多数结论，我们不惜篇幅，均予以技巧各异的论证。最后由常规的对称阵和反对称阵，给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论。二预备知识为方便比较与研究，我们不妨先给出如下的定义：（一）设矩阵A=(aij)mn，把A的行变为列所得到的阵AT=(aji)nm叫做矩阵A的转置（常规转置或主转置）。（注：“T”为“Transposed”的第

3、一个字母）（二）设矩阵A=(aij)mn，以其次对角线为轴，左上和右下的元素对应互换所得到的阵AS=(an-j+1m-i+1)nm叫做矩阵A的次转置。（注：“S”为“Sub-transposed”的第一个字母）例如：（三）设矩阵A=(aij)mn，以其中间行或中间两行的“空”为轴，上下等距离的行对应互换所得到的阵AH=(am-i+1j)mn叫做矩阵A的行转置。（注：“H”为“Horizontaltransposed”的第一个字母）例如：（四）设矩阵A=(aij)mn，以其中间列或中间两列的“空”为轴，上下等距离的列对应互换所得到的阵AV=(ain

4、-j+1)mn叫做矩阵A的列转置。（注：“V”为“Verticaltransposed”的第一个字母）例如：矩阵的常规转置（主转置）的诸多结论读者是知晓的，这里无须一一列出。三若干结论下面给出矩阵的次转置、行转置、列转置的相关结论。下文所涉及的矩阵，有时是长方阵，有时是方阵，这对读者是不说自明的。（一）次转置1(AS)S=A2(aA)S=aAS3(A+B)S=AS+BS4r(AS)=r(A)（r(A)表示阵A的秩）5r(AAS)=r(ASA)=r(A)6(AB)S=BSAS（注：3,6可推广到有限多个。）例1已知则有7

5、AS

6、=

7、A

8、例2已知则有

9、

10、C

11、=-358(AS)*=(A*)S证明：令A=(aij)nn，则AS=(an-j+1n-i+1)nn9若A可逆，则AS也可逆，且(AS)-1=(A-1)S。证明：由A可逆，则

12、A

13、≠0，进而

14、AS

15、≠0，于是AS可逆。则(AS)-1=(AS)*/

16、AS

17、=(A*)S/

18、A

19、=(A-1)S所以AS也可逆，且(AS)-1=(A-1)S10若A可逆，a≠0，则aAS也可逆，且(aAS)-1=a-1(A-1)S。证明：由A可逆，则AS也可逆，进而

20、AS

21、≠0，则

22、aAS

23、≠0于是aAS也可逆则（aAS）[a-1(AS)-1]=aa-1[AS(AS)-

24、1]=AS(A-1)S=(A-1A)S=E所以aAS也可逆，且（aAS）-1=a-1(A-1)S11

25、(AS)-1

26、=

27、AS

28、-1（A为可逆阵）证明：由A可逆，则

29、A

30、≠0，AS可逆，且

31、AS

32、

33、(AS)-1

34、=E于是

35、AS(AS)-1

36、=

37、E

38、=1由

39、AS

40、=

41、A

42、，且

43、A

44、≠0所以

45、(AS)-1

46、=

47、AS

48、-112如果A与B均为n阶可逆阵，则ASBS也可逆，且(ASBS)-1=(BS)-1(AS)-1。证明：由A,B均可逆，则AS，BS也可逆。又由

49、ASBS

50、=

51、（BA）S

52、=

53、AB

54、≠0知ASBS可逆,则（ASBS）[（BS）-1（AS）-

55、1]=AS[BS(BS)-1]（AS）-1=（A-1A）S=E所以ASBS也可逆，且(ASBS)-1=(BS)-1(AS)-113若n阶方阵A与B可交换，A可逆，则(AS)-1与BS可交换。证明：由AB=BA，知AA-1B=BAA-1=ABA-1两边取次转置，得BS(A-1)SAS=(A-1)SBSAS右乘(AS)-1，得BS(A-1)S=(A-1)SBS即BS(AS)-1=(AS)-1BS所以(AS)-1与BS可交换14若n阶方阵A与B相似，则AS与BS也相似。证明：由A与B相似，知：存在n阶可逆阵Q，使B=Q-1AQ两边取次转置，得BS=（Q

56、-1AQ）S=QSAS（Q-1）S=[（QS）-1]AS（QS）-1所以AS与BS也相似15若λ是n阶方阵A的特征值，则λ也是AS的特征