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1、第三章独立性与相关性相容性1．两两独立但不相互独立【例1】设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以A,B,C分别记投一次四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件，则所以A,B,C两两独立，但因而A,B,C不相互独立。【例2】设有四张形状，大小，质量完全一样的卡片，上面分别标有数字112，121，211，222，现从四张卡片中任抽一张，以随机变量X,Y,Z分别表示抽到卡片上的第一，二，三位数字，则所以X,Y,Z两两独立，但因而X,Y,Z不相互独立。2．P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C不两两独立.设有
2、一均匀正八面体，其第1，2，3，4面涂有红色，第1，2，3，5面图黄色，第1，6，7，8面涂兰色。现以A,B,C分别表示投一次正八面体，底面出现红，黄，兰颜色的事件，则但是所以A,B,C不两两独立。1．独立关系不具有传递性设三事件A,B,C，若由A与B独立，且B与C独立，得到A与C独立，我们就称A,B,C的独立关系具有传递性考虑有两个孩子和家庭全体，假定生男生女是等可能的，因而样本空间，其中b为男孩，g为女孩，每一对里的次序是指出生的次序.现在从全体有两个孩子的家庭中随机地选择一个家庭，并考虑下面三个事件：A为“第一个孩子是男孩”，B为“两个孩子不同性别”，C为“第一个孩子
3、是女孩”，则有即A与B独立，B与C独立，但是因此A与C不独立.顺便指出不独立关系也不具有传递性，即若A,B不独立，B,C不独立，则A,C可以独立考察掷三枚均匀硬币的试验A为“全正面或全反面”，B为“至多两个正面”，C为“至多一个正面”，试验的样本空间为其中H表示正面，T表示反正，容易算出：于是有可见A,B不独立，B,C不独立，A,C却独立.2．随机变量不独立，但其函数可以独立正态分布有个特性：任何n(>1)维正态随机变量，可由坐标轴的旋转转变为一组几个独立的正态随机变量.（参见丁寿田译的前苏联《概率论教程》P157）例如n=2，即使X,Y不独立，当（X,Y）服从二维正态分布
4、，令，，则（Z,W）仍服从二维正态分布，其联合密度函数为：只要适当地选择：则B=0,此时Z与W独立1．X与Y不独立，但与独立若随机变量X与Y独立，则与必相互独立，其逆不真例如：设（X,Y）的联合密度函数为对于一切x,y恒有所以与相互独立。显然，所以X与Y不独立.1．X与Y不独立，但有相同分布观察如下的（X,Y）的联合分布及其边缘分布XY012Y的分布01/191/61/97/1811/61/301/221/9001/9X的分布7/181/21/9由于故X与Y不独立，但X与Y的分布显然相同.2．既不相关也不独立的随机变量若随机变量X,Y相互独立，则X，Y不相关，反之不真，这方
5、面的反例很多，离散型与连续型各举一例.例1．设（X，Y）的分布为：XY-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8容易验证.例2．设（X,Y服从单位圆域上的均匀分布，但其密度函数容易验证.1．随机变量独立但它们的函数未必独立设X,Y为相互独立的随机变量（1）Z,W独立的例子设X,Y独立且有相同分布，取,,则（Z,W）的联合密度为边缘密度为则故Z与W独立（2）Z,W不独立的例子设X,Y不独立，且都服从如下分布取,此时Z与W或者同为奇数或者同为偶数，所以Z与W不独立.2．独立性与相容性独立性是问题间的概率属性，相容性是事件间本身的关系。由第一章4可知，由概
6、率关系推不出事件间关系，所以由独立性推不出不相容性。看如下一个命题：若A,B为两个独立事件，且,且A,B不能不相容，用反证法证明此命题。若,则,由A,B独立，且得,矛盾，因而可见在题设条件下，A与B独立同A与B互不相容不能同时成立。但若A,B中有一个概率为0，则A与B独立同A与B互不相容可同时成立。1．独立同分布的随机变量是否必相等设X,Y互相独立，且都服从两点分布则未必有X=Y事实上，由X,Y的独立性有显然X=Y不是必然事件.2．有函数关系的随机变量是否一定不独立考验如下三个随机变量X,Y和Z：假定X与Y独立且都服从参数为p的（0－1）分布，令Z为X与Y的函数由于X,Y独
7、立，可得（X,Y）的联合分布律XY0101Z的概率分布为：（X,Z）的联合分布率为XZ01Z的分布01X的分布显然当P=1/2,Z与X相互独立可见，尽管Z与X之间存在函数关系，但它们可以相互独立.
